Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\alpha \) là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo. Chứng minh rằng \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot \sin \alpha \)

Chọn A

Gọi \[MNPQ\] là mảnh vườn hình chữ nhật và \[\alpha \] là góc giữa đường chéo \[NQ\] và chiều dài \[MN\] của mảnh vườn hình chữ nhật.

Vì tam giác \[MNQ\] vuông tại \[M\] nên \[\tan \alpha  = \tan \widehat {MNQ} = \frac{{MQ}}{{MN}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{30}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, chuyển máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{\hspace{0.17em}SHIFT\hspace{0.17em}}}\boxed{\tan }\boxed{\sqrt{}}\boxed{3}\boxed{⊳}\boxed{÷}\boxed{3}\boxed{=}$ 

Màn hình hiện lên kết quả: \[30.\] Nghĩa là, \[\alpha  = 30^\circ .\]

Do đó góc giữa đường chéo và chiều dài của mảnh vườn bằng \[30^\circ .\]

a) Kẻ đường cao \(AH\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = c.\sin B\)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AH = b.\sin C\)

Khi đó: \(c.\sin B = b.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}\) \(\left( 1 \right)\)

Kẻ đường cao \(BK\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(c.\sin a = a.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{a}{{\sin A}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) (đpcm).

b) Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}}\)

Đẳng thức \(\sin A = \sin B + \sin C\) sảy ra khi \(a = b + c\)( vô lý)

Vậy đẳng thức: \(\sin A = \sin B + \sin C\) không xảy ra.