Tìm \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ne 2\\2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x = 2\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 2\)?

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(f\left( 2 \right) = 4 + a\).

Ta tính được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2}  + 2}} = \frac{1}{4}\).

Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow 4 + a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a =  - \frac{{15}}{4}\).

Vậy hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi \(a =  - \frac{{15}}{4}\).