Công ty sữa muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích \(1\,\,000\,\,{\rm{ml}}{\rm{.}}\) Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào thì tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Hướng dẫn giải

a) Gọi \[F\] là trung điểm của \[AO\]. Khi đó \[FO = FA = \frac{1}{2}AO\].

Xét \[\Delta OMN\] cân tại \[O\] (do \[OM = ON\]) có \[OE\] là đường trung tuyến nên cũng là đường cao của \[\Delta OMN\], suy ra \[MN \bot OE\] tại \[E\], suy ra \[\widehat {OEM} = 90^\circ \] hay \[\Delta EAO\] vuông tại \[E\].

Xét \[\Delta EAO\] vuông tại \[E\] có \[EF\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \[EF = \frac{1}{2}AO\].

Xét \[\Delta CAO\] vuông tại \[C\] có \[CF\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AO\) nên \[CF = \frac{1}{2}AO\].

Vì \[EF = CF = FO = FA = \frac{1}{2}AO\] nên bốn điểm \[A,O,E,C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[F\] đường kính \[AO.\]

b) ⦁ Chứng minh \[\widehat {BIC} = \widehat {AOC}\]

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\], suy ra \[OA\] là đường phân giác của \[\widehat {BOC}\], do đó \[\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\].

Mặt khác, \[\widehat {CIB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[BC\])

Do đó, ta có: \[\widehat {BIC} = \widehat {AOC}\].

• Chứng minh \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]

Xét đường tròn \[\left( F \right)\], có: \[\widehat {AEC} = \widehat {AOC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AC\]).

Mà \[\widehat {CIB} = \widehat {AOC}\] (chứng minh trên) nên \[\widehat {AEC} = \widehat {BIC}\]

Lại có \[\widehat {AEC},\,\,\widehat {BIC}\] ở vị trí đồng vị nên \[BI\,{\rm{//}}\,MN\].

c)

Vẽ \[NG \bot AB\] kéo dài tại \[G\] và đường kính \[BN'\] của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có: \[{S_{AIN}} = {S_{ABN}} = \frac{1}{2}NG.AB\] (vì \[BI\,{\rm{//}}\,MN\]).

Để diện tích \[AIN\] lớn nhất thì \[\frac{1}{2}NG.AB\] đạt giá trị lớn nhất, mà \[AB\] là đường kính đường tròn \[\left( O \right)\] nên có giá trị không đổi, do đó ta cần \[NG\] đạt giá trị lớn nhất.

Mà \[NG \le BN\] (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Lại có, \[BN \le BN'\] (trong một đường tròn, độ dài các dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính).

Do đó, \[NG\] đạt giá trị lớn nhất khi \[NG = BN'\] hay \[G \equiv B\], hay \[NB \bot AB,OB \bot AB\].

Suy ra \[B,O,N\] thẳng hàng.

Vậy diện tích \[AIN\] lớn nhất khi \[B,O,N\] thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Vì \(AM,\,\,AN\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M,\,\,N\) nên \(AM \bot OM,\,\,AN \bot ON.\)

Gọi \[E\] là trung điểm của \[OA\]. Khi đó \(OE = AE = \frac{1}{2}OA.\)

Xét \[\Delta MOA\] vuông tại \[M\] có \[ME\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OA\) nên \[ME = \frac{1}{2}OA\].

Xét \[\Delta NOA\] vuông tại \[N\] có \[NE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OA\) nên \[NE = \frac{1}{2}OA\].

Vì \[NE = ME = OE = AE = \frac{1}{2}OA\] nên bốn điểm \[A,M,O,N\] cùng thuộc đường tròn tâm \[E,\] đường kính \[OA\].

b) ⦁ Chứng minh \[A{N^2} = AB.AC\]

Xét đường tròn \[\left( O \right)\], có: \[\widehat {BCN} = \frac{1}{2}\widehat {BON}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[BN\]) (1)

Xét \[\Delta BON\] cân tại \[O\] (do \[OB = ON)\] có \[\widehat {OBN} = \widehat {ONB}\].

Do đó \[\widehat {BON} = 180^\circ - 2\widehat {ONB} = 2\left( {90^\circ - \widehat {ONB}} \right) = 2\widehat {BNA}\], suy ra \[\widehat {BNA} = \frac{1}{2}\widehat {BON}\] (2).

Từ (1) và (2), suy ra \[\widehat {BNA} = \widehat {BCN}\].

Xét \[\Delta ANB\] và \[\Delta ACN\] có: \[\widehat {CAN}\] là góc chung và \[\widehat {BNA} = \widehat {BCN}\]

Do đó, tam giác ANB đồng dạng tam giác ACN (g.g).

Suy ra \[\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AN}}\] hay \[A{N^2} = AB.AC\].

• Chứng minh \[MF\parallel AC\]

Xét \[\Delta COB\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB\]) có \[OI\] là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó \[OI \bot BC\]. Suy ra \[\Delta IOA\] vuông tại \[I\].

Xét \[\Delta IOA\] vuông tại \[I\] có \[IE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(OA\) nên \[IE = \frac{1}{2}OA\].

Khi đó, ta có \[NE = IE = OE = AE = \frac{1}{2}OA\] nên bốn điểm \[A,I,O,N\] cùng thuộc đường tròn tâm \[E,\] đường kính \[OA\].

Suy ra \[\widehat {AIN} = \widehat {AON}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AN\] của đường tròn tâm \[E\]). (*)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \[AM,AN\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\], suy ra \[OA\] là phân giác của \[\widehat {MON}\]

Do đó, \[\widehat {AON} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\].

Mà \[\widehat {NFM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[MN\])

Suy ra \[\widehat {NFM} = \widehat {AON}\] (**)

Từ (*) và (**), suy ra \[\widehat {NFM} = \widehat {AIN}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó \[MF\,{\rm{//}}\,AC\].

c)

⦁ Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) và \(OA.\)

Ta có \(AM = AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OM = ON\) nên \(A,\,\,O\) cùng nằm trên đường trung trực của \(MN\) hay \(OA\) là đường trung trực của \(MN\).

Suy ra \[MN \bot OA\] hay \[HN \bot OA\].

Xét \[\Delta OHN\] và \[\Delta ONA\], có: \[\widehat {OHN} = \widehat {ONA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AON}\] là góc chung

Do đó tam giác OHN đồng dạng tam giác ONA (g.g)

Suy ra \[\frac{{OH}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OA}}\] suy ra \[OH.OA = O{N^2} = {R^2}\] (3).

⦁ Ta có \(OC = OB,\,\,IC = IB\) (do \(I\) là trung điểm của \(BC),\) \(KC = KB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm \(O,\,\,I,\,\,K\) thẳng hàng.

Xét \[\Delta OIB\] và \[\Delta OBK\], có: \[\widehat {OIB} = \widehat {OBK} = 90^\circ \] và \[\widehat {BOK}\] là góc chung

Do đó tam giác OIB đồng dạng tam giác OBK (g.g)

Suy ra \[\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OK}}\] suy ra \[OI.OK = O{B^2} = {R^2}\] (4).

Từ (3) và (4) suy ra \[OI.OK = OH.OA = {R^2}.\] Từ đó, ta có \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\].

Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OHK\] có: \[\widehat {AOK}\] là góc chung và \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\]

Do đó  tam giác OIA đồng dạng tam giác OHK (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {OHK} = \widehat {OIA} = 90^\circ \], suy ra \[HK \bot OA\].

Mà \[MN \bot OA\] tại \[H\] và \[MN\] cố định (do điểm \(A\) cố định), do đó \[K\] thuộc \[MN\] cố định.