Đầu mùa thu hoạch dưa hấu, bác nông dân Mai An Tiêm đã bán cho người thứ nhất nửa số dưa hấu thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả, ... Đến lượt người thứ mười một bác cũng bán nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Biết một quả dưa hấu có giá bán 10.000 đồng. Hỏi bác nông dân Mai An Tiêm đã thu được bao nhiêu tiền?

Lời giải

Do \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Có \(f\left( 1 \right) = a + b + c;\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b + c \Rightarrow f\left( 1 \right) + 9f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 2\left( {a + 2b + 5c} \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu hoặc \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\).

Nếu \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x = 1;x = \frac{1}{3}\).

Nếu \(f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu tức là \(f\left( 1 \right).f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\) thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong

khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\).

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm thực.

Lời giải

Gọi \[{u_n}\] là số tiền ông H thu về sau khi cho thuê sau \[n\]năm.

Năm đầu tiên, ông H thu về: \[{u_1} = 60\].

Năm thứ hai, ông H thu về: \[{u_2} = {u_1}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_1}\].

……

Năm thứ \[n\], ông H thu về \[{u_n} = {u_{n - 1}}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_{n - 1}}\].

Nên \[{u_n}\] là cấp số nhân với \[{u_1} = 60;\,\,q = 1,05\].

Sau 5 năm, tổng số tiền ông H thu về từ cho thuê căn hộ đó là:

\[{S_5} = {u_1}.\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 60.\frac{{{{1,05}^5} - 1}}{{1,05 - 1}} = 331,537875\] (triệu đồng).