Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) luôn có nghiệm thực với\(a + 2b + 5c = 0\).

Lời giải

Gọi \[{u_n}\] là số tiền ông H thu về sau khi cho thuê sau \[n\]năm.

Năm đầu tiên, ông H thu về: \[{u_1} = 60\].

Năm thứ hai, ông H thu về: \[{u_2} = {u_1}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_1}\].

……

Năm thứ \[n\], ông H thu về \[{u_n} = {u_{n - 1}}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_{n - 1}}\].

Nên \[{u_n}\] là cấp số nhân với \[{u_1} = 60;\,\,q = 1,05\].

Sau 5 năm, tổng số tiền ông H thu về từ cho thuê căn hộ đó là:

\[{S_5} = {u_1}.\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 60.\frac{{{{1,05}^5} - 1}}{{1,05 - 1}} = 331,537875\] (triệu đồng).

Lời giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là \(SI\).

b) Ta có \(IM\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\), suy ra \(IM//SD\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}IM \not\subset \left( {SAD} \right)\\IM//SD\\SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM//\left( {SAD} \right)\)

c) Gọi \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\) gọi \(K = MG \cap BN\), suy ra \(N\) là trung điểm \(BK\).

Suy ra \(\Delta ABN = \Delta DKN \Rightarrow \widehat {BAN} = \widehat {KDN} \Rightarrow AB//DK;AB = DKACK\)\[\]. Do đó \(K,D,C\) thẳng hàng và \(D\) là trung điểm \(KC\).

Gọi \(Q = AD \cap IK\), tam giác  có hai trung tuyến \(AD,KI\) cắt nhau tại \(Q\) nên \(Q\) là trọng tâm của tam giác \(ACK\), suy ra \(AQ = \frac{2}{3}AD\). Vậy \[\frac{{QD}}{{QA}} = \frac{1}{2}\].