Cho tam giác vuông cân \(OBM\) tại \(O\) có \(OB = OM = 1\). Lấy \({B_1},\,{A_1},\,{M_1}\) lần lượt là trung điểm của các các cạnh \(OB,\,OM,\,MB\) rồi tô màu tam giác \({A_1}{M_1}M\). Lấy \({B_2},\,{A_2},\,{M_2}\) lần lượt là trung điểm các cạnh \({B_1}B,\,{B_1}{M_1},\,{M_1}B\) rồi tô màu tam giác \({A_2}{M_2}{M_1}\). Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy các tam giác được tô màu (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính tổng diện tích các hình tam giác được tô màu.

Lời giải

Do \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Có \(f\left( 1 \right) = a + b + c;\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b + c \Rightarrow f\left( 1 \right) + 9f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 2\left( {a + 2b + 5c} \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu hoặc \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\).

Nếu \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x = 1;x = \frac{1}{3}\).

Nếu \(f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu tức là \(f\left( 1 \right).f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\) thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong

khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\).

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm thực.

Lời giải

Số phần tử của mẫu là \(n = 40\).

Gọi \[{x_1},{x_2}...,{x_{40}}\]là cân nặng của \(40\) học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là     \[\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa trung vị là nhóm \(3\): \(\left[ {50;60} \right)\).

Ta có \[p = 3;{a_3} = 50;{m_3} = 16;{m_1} + {m_2} = 12;{a_4} - {a_3} = 10\].

Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({Q_2} = {M_e} = 50 + \left( {\frac{{20 - 12}}{{16}}} \right) \cdot 10 = 55\left( {{\rm{\;kg}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1}\] là \[\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa \[{Q_1}\] là nhóm \(2\):\(\left[ {40;50} \right)\)

Ta có \[p = 2;{a_2} = 40;{m_2} = 10;{m_1} = 2;{a_3} - {a_2} = 10\].

Áp dụng công thức tính \[{Q_1}\] ta có \({Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 48\left( {{\rm{\;kg}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3}\] là \[\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\]. Khi đó nhóm chứa \[{Q_3}\] là nhóm \(4\):\(\left[ {60;70} \right)\)

Ta có \[p = 4;{a_4} = 40;{m_4} = 8;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 28;{a_5} - {a_4} = 10\].

Áp dụng công thức tính \[{Q_3}\] ta có \({Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right).10 = 62,5\left( {{\rm{kg}}} \right).\)

 Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:\({Q_1} = 48\left( {{\rm{kg}}} \right);{Q_2} = 55\left( {{\rm{kg}}} \right);{Q_3} = 62,5\left( {{\rm{kg}}} \right)\).