Trong một khu bảo tồn sinh thái, người ta theo dõi sự phát triển của một loài thực vật quý hiếm. Số lượng cây của loài này sau \(t\)năm được mô tả bởi công thức \(P\left( t \right) = \frac{{100000}}{{1 + {4^{ - t}}}}\) trong đó \(t\)được tính theo năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì số lượng cây đạt 80000 cây?

Đáp án: __

Đường thẳng \(d\)đi qua điểm \(K\left( {0;0;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {KA}  = \left( {0;6;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {KA}  \cdot \overrightarrow u  = 0 \Rightarrow AK \bot d\).

Do đó K là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Có \(d \subset \left( P \right)\) và \(AH \bot \left( P \right)\) nên \(AH \bot HK\).

Lại có \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow u  = 0\) nên hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) bằng 0.

Do điểm \(A\) có hoành độ bằng 0 nên hình chiếu \(H\) của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) cũng phải có hoành độ bằng 0. Tức là điểm \(H\)nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có \(\widehat {AHK} = 90^\circ \) nên \(H\)luôn nằm trên đường tròn đường kính \(AK\).

Đường tròn này có tâm \(I\left( {0;3;4} \right)\)là trung điểm của \(AK\) và bán kính \(R = \frac{{AK}}{2} = 3\).

Do đó khoảng cách từ O đến H lớn nhất thì \(H\)là giao điểm của tia \(OI\) với đường tròn.

Ta có \(OI = 5\). Khi đó \(O{H_{\max }} = OI + R = 5 + 3 = 8\).

Đáp án cần nhập là: 8.

Gọi \(A\)là biến cố “Quả bóng lấy ra từ hộp I không chứa số 4 hoặc số 6”.

Khi đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{10}}\).

Gọi \(B\)là biến cố “Quả bóng lấy ra từ hộp II không chứa số 4 hoặc số 6”. Khi đó \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{12}}\).

Khi đó \(AB\)là biến cố “Hai quả bóng lấy được không có quả bóng nào ghi số 4 hoặc ghi số 6”.

Xác suất cần tìm là \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{{80}}{{120}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(a = 2;b = 3\). Do đó \(a + b = 5\). Chọn B.