Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {0;6;4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\)là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng \(d\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\)lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ \(O\) đến điểm \(H\).

Đáp án: __

Từ dữ kiện đề bài ta có \(P\left( A \right) = 0,01;P\left( {\overline A } \right) = 0,99\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,98;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\).

1. Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,01 \cdot 0,98 + 0,99 \cdot 0,03 = 0,0395\).

2. Đúng. Từ dữ kiện đề ta có \(P\left( A \right) = 0,01;P\left( {\overline A } \right) = 0,99\).

3. Sai. Theo công thức Bayes, có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01 \cdot 0,98}}{{0,0395}} \approx 0,25\).

4. Đúng. Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,99 \cdot 0,03}}{{0,0395}} \approx 0,75\).

Vì \(P\left( {\overline A |B} \right) > P\left( {A|B} \right)\) nên trong số những thí sinh bị hệ thống cảnh báo gian lận, khả năng cao là thí sinh nghiêm túc hơn là gian lận. Chọn 1, 2, 4.

 Đặt \(t = t\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1}  + x,t > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(t' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = f\left( {t\left( x \right)} \right) = {3^t} - {3^{\frac{1}{t}}}\) có \(f' = \left( {{3^t} \cdot \ln 3 + \frac{1}{{{t^2}}} \cdot {3^{\frac{1}{t}}} \cdot \ln 3} \right) > 0,\forall t > 0\).

Do đó \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Chọn C.