Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) và điểm \(A\left( {2; - 5; - 6} \right).\) Những phương án nào dưới đây đúng?    

 Gọi \(A\) là biến cố “Người đó là người trẻ”

\(B\) là biến cố “Người đó hài lòng với mẫu xe”

\(C\) là biến cố “Người đó sẽ đặt cọc mua xe”

Xét người tham quan là người trẻ. Theo đề \(P\left( A \right) = 0,7\).

Suy ra \(P\left( {BC} \right) = 50\%  = 0,5\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 30\%  = 0,3\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 20\%  = 0,2\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

Xét người tham quan là người trung niên có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\).

\(P\left( {BC} \right) = 20\%  = 0,2\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 10\%  = 0,1\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 70\%  = 0,7\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

1. Sai. Ta có \(P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,5 + 0,3 = 0,8\).

2. Đúng. Ta có \(\overline C  = \overline C AB \cup \overline C A\overline B  \cup \overline C \overline A B \cup \overline C \overline A \overline B \).

\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline C AB} \right) + P\left( {\overline C A\overline B } \right) + P\left( {\overline C \overline A B} \right) + P\left( {\overline C \overline A \overline B } \right)\)\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,7 = 0,59\).

3. Đúng. \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 0,41\).

\(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).

\(P\left( {AC} \right) = P\left( {AC\overline B } \right) + P\left( {ACB} \right) = 0,7 \cdot 0 + 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\).

Suy ra \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,35}}{{0,41}} \approx 0,854 > 0,85\).

4. Đúng.\[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline C B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\];

\(P\left( {\overline C B} \right) = P\left( {\overline C BA} \right) + P\left( {\overline C B\overline A } \right) = 0,3 \cdot 0,7 + 0,1 \cdot 0,3 = 0,24\).

\(P\left( B \right) = P\left( {BA\overline C } \right) + P\left( {BAC} \right) + P\left( {B\overline A C} \right) + P\left( {B\overline A \overline C } \right)\)\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,65\).

Suy ra \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{0,24}}{{0,65}} \approx 0,37\]. Chọn 2, 3, 4.

1. Đúng. Ta có: \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}}  = \frac{{4a}}{3}.\)

2. Sai. \(AB = AC = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)

3. Đúng. Do \(BB'//\left( {ACC'A'} \right)\) nên \(d\left( {BB',\,AC} \right) = d\left( {BB',\,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)

Ta có \(\frac{{d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}} = \frac{{BN}}{{HN}} = 3.\) Suy ra \(d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)

4. Sai. Kẻ \(HK \bot AC\) và \(HI \bot A'K.\) Khi đó \(HI \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = HI.\)

Ta có \(HK//AB \Rightarrow \frac{{HK}}{{AB}} = \frac{{NH}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}.\)

\(d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3HI = 3 \cdot \frac{{A'H \cdot HK}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{K^2}} }} = 3 \cdot \frac{{\frac{{4a}}{3} \cdot \frac{a}{3}}}{{\sqrt {\frac{{16{a^2}}}{9} + \frac{{{a^2}}}{9}} }} = \frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.\) Chọn 1, 3.

1. Sai.  Vận tốc ban đầu của con ngựa vằn là \({v_2}\left( 0 \right) = 20 - 20{e^0} = 0\) m/s.

2. Đúng. Ta có: \({v'_1}\left( t \right) =  - 0,1 \cdot 15{e^{ - 0,1t}} < 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].\) Suy ra tốc độ sư tử giảm dần theo thời gian.

Ta có: \({v'_2}\left( t \right) =  - 0,1 \cdot \left( { - 20} \right){e^{ - 0,1t}} = 2{e^{ - 0,1t}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].\)Suy ra tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.

3. Sai. Khoảng cách giữa sư tử và ngựa vằn là \(d\left( t \right) = 40 + \int_0^t {\left[ {{v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)} \right]{\rm{d}}t} \).

Ta có \(d'\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)\,;\,\,d'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = {v_1}\left( t \right)\).

Ta có: \(20 - 20{e^{ - 0,1t}} = 15{e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow 20 = 35{e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{20}}{{35}} = {e^{ - 0,1t}}\)\( \Leftrightarrow {\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}} =  - 0,1t\) \( \Leftrightarrow t = \frac{{{\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}}}}{{ - 0,1}} \approx 5,6\,\,\,\left( s \right)\).

Bảng biến thiên:

Vậy sư tử ở gần ngựa vằn nhất khi \({v_1}\left( t \right) = {v_2}\left( t \right)\), và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,92 mét.

4. Đúng. Từ bảng biến thiên, ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa hai con vật là 1,92 mét; kể từ thời điềm gần nhất đó, sư tử dần bị bỏ lại phía sau và sư tử không thể bắt được ngựa vằn. Chọn 2, 4.

1. Đúng. Với \[HE = x\] thì \[FK = 24 - x\] (\[0 < x < 24\]). Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].

2. Sai. Tổng quãng đường đi từ A đến B là \[AE + EF + BF = \sqrt {25 + {x^2}}  + \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}}  + EF\] (km).

3. Đúng. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25}  + \sqrt {{x^2} - 48x + 625} \];

\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\].

4. Sai. Ta cần tổng quãng đường \[AE + EF + FB\] ngắn nhất, mà EF không đổi nên \[AE + FB\] bé nhất.

Từ câu c) ta có \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\]; \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\].

Bảng biến thiên:

Ta có: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\,\,24} \right)} f\left( x \right) = 12\sqrt 5 \]; khi đó \[x = 10\,\,km\] và \[BF = 7\sqrt 5 \,\,km \approx 15,65\,\,km\]. Chọn 1, 3.