Một con sư tử đang đuổi theo một con ngựa vằn và chúng cùng chạy trên một đường thẳng. Ngựa vằn đã nhận ra sư tử khi sư tử cách nó khoảng 40 m. Từ thời điểm này, sư tử đuổi theo ngựa vằn với tốc độ \({v_1}\left( t \right) = 15{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;m/s}}\) và ngựa vằn bỏ chạy với tốc độ \({v_2}\left( t \right) = 20 - 20{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;m/s}}\) (\(t\) được tính bằng giây với \(0 \le t \le 60\)). Những phương án nào dưới đây đúng?    

Gọi \(A\)là biến cố “Linh kiện được chọn là sản phẩm của nhà cung cấp A”;

\(B\)là biến cố “Linh kiện được chọn bị lỗi”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,73 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,27\).

Đặt \(P\left( {B|\overline A } \right) = x\left( {0 < x < 1} \right)\). Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = 3x\).

Cần tính \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}\]\( = \frac{{0,73 \cdot 3x}}{{0,73 \cdot 3x + 0,27 \cdot x}} = \frac{{73}}{{82}} \approx 0,89\).

Đáp án cần nhập là: 0,89.

1. Đúng. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\).

2. Sai. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Suy ra \(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 5} \right) - 3\left( {z + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0\)

3. Đúng. \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 2 + t; - 1 - 3t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {2t - 1;t + 3;5 - 3t} \right)\).

\(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Rightarrow \left( {2t - 1} \right) \cdot 2 + \left( {t + 3} \right) \cdot 1 - 3 \cdot \left( {5 - 3t} \right) = 0\)\( \Rightarrow 14t - 14 = 0 \Rightarrow t = 1\).

Vậy \(H\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

4. Sai. Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\).

\(AK \bot \left( P \right) \Rightarrow AK \bot HK\) nên \(\Delta AHK\) vuông tại \(K\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = AK \le AH\): hằng số

Để \[d\left( {A,\left( P \right)} \right)\] lớn nhất thì \(K \equiv H\)\( \Rightarrow K\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

Khi đó \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AK}  = \left( {1;4;2} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {3; - 1; - 4} \right)\) nên có phương trình \(1\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y + 2z + 9 = 0\). Chọn 1, 3.