Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( { - 4;\,1} \right)\), \(B\left( {2;\,4} \right)\), \(C\left( {2;\, - 2} \right)\).

a) Giải tam giác \(ABC\).

b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\, - 6} \right)\), \(\overrightarrow {CA}  = \left( { - 6;\,3} \right)\).

Do đó: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 5 \), \(BC = 6\), \(CA = 3\sqrt 5 \). Ta thấy \(AB = CA\left( { = 3\sqrt 5 } \right)\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + C{A^2} - 2AB.CA.\cos A\)

\( \Leftrightarrow \cos A = \frac{{A{B^2} + C{A^2} - B{C^2}}}{{2AB.CA}} = \frac{3}{5}\) \( \Rightarrow \widehat A \approx 53^\circ 8'\).

Khi đó \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} \approx 63^\circ 26'\).

b) Gọi \(H\left( {x;\,y} \right)\) là tọa độ trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 4;\,y - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;\,y - 4} \right)\).

Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {CA} \) hay \(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\), \(\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {CA}  = 0\). Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 4} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0\\\left( {x - 2} \right).\left( { - 6} \right) + \left( {y - 4} \right).3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(H\left( {\frac{1}{2};\,1} \right)\).