Cho hình vuông \[ABCD\], điểm M nằm trên đoạn thẳng \[AC\] sao cho \[AM = \frac{{AC}}{4}.\] Gọi \[N\] là trung điểm của đoạn thẳng \[DC\]. Chứng minh rằng tam giác \[BMN\] vuông cân.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có hình vẽ:

Cho hình vuông ABCD , điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = AC/4. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng tam giác BMN vuông cân. (ảnh 1)

Đặt \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow a \,\,;\,\overrightarrow {BA} = \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \,\, & ;\,\,\,\overrightarrow {BN} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)

\(\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BN} = \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BN} = \frac{1}{4}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NM} = 0\)

Suy ra tam giác \(AMN\) vuông tại \(N.\)

Mặt khác: \(N{A^2} = \frac{1}{{16}}.\left( {{{\overrightarrow a }^2} + 9{{\overrightarrow b }^2} - 6\overrightarrow a \overrightarrow b } \right) = \frac{5}{8}{a^2},\,\,{M^2} = \frac{1}{{16}}.\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a \overrightarrow b } \right) = \frac{5}{8}{a^2}\)

Suy ra tam giác \(AMN\) cân tại \(N.\)

Vậy tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(N\) (đpcm)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm với vận tốc trung bình như nhau là \(45\) km/h từ hai vị trí A và B theo hai hướng vuông góc với nhau để cùng đi về bến cuối O và dừng lại tại đây. Vị trí A cách bến \(12\) km, vị trí B cách bến \(10\) km. Xác định thời gian từ lúc hai xe bắt đầu chạy cho đến khi khoảng cách hai xe nhỏ hơn \(3\)km (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Lời giải

Lời giải

Sau thời gian t, ô tô 1 đi từ A đến C với vận tốc trung bình là \(45\) km/h nên

\(AC = 45t \Rightarrow OC = 12 - 45t\) (km).

Sau thời gian t, ô tô 2 đi từ B đến D với vận tốc trung bình là \(45\) km/h nên

\(BD = 45t \Rightarrow OD = 10 - 45t\) (km).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\OC \ge 0\\OD \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\12 - 45t \ge 0\\10 - 45t \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le t \le \frac{2}{9} \Rightarrow 0 \le t \le 0,222\)

Sau thời gian t, hai ô tô cách nhau một khoảng là CD nên

\(CD < 3 \Leftrightarrow C{D^2} < 9 \Leftrightarrow {\left( {12 - 45t} \right)^2} + {\left( {10 - 45t} \right)^2} < 9\)

\( \Leftrightarrow 4050{t^2} - 1980t + 235 < 0 \Rightarrow 0,203 < t < 0,286\)

Kết hợp với điều kiện ta có \(0,203 < t \le 0,222\) thoả yêu cầu bài toán.

Câu 2

Anh B dự định mua một mảnh đất. Người bán cung cấp cho anh B bản vẽ chi tiết của mảnh đất như hình bên và mức giá là 10.000.000 đồng/m2. Tính số tiền anh B cần để mua mảnh đất đó.

Lời giải

Xét tam giác ABD, ta có:\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {BAD} \Rightarrow BD \approx 9,27\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

\(\frac{{AD}}{{\sin \widehat {ABD}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow \sin \widehat {ABD} = \frac{{AD.\sin BAD}}{{BD}} \approx 0,079 \Rightarrow \widehat {ABD} \approx 78^\circ \Rightarrow \widehat {CBD} \approx 22^\circ .\)

\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.7,11.10,48.\sin 60^\circ + \frac{1}{2}.7,11.9,27.\sin 22^\circ \approx 44,61\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)

Số tiến cần mua: \({S_{ABCD}}.10.000.000 = 446100000\) đồng.

Câu 3