Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(BK \bot AC,K \in AC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AK\) và \(CD\). Khi đó, \(\widehat {BMN}\) bằng bao nhiêu độ?

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \vec a,\overrightarrow {BC}  = \vec b,\overrightarrow {BK}  = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\).

Khi đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right),\,\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{4}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\left( {\vec a + \vec c} \right) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left[ {2\vec a \cdot \vec b + \left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c + \left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c} \right]{\rm{. }}\)

Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) (do \(\vec a \bot \vec b\)); \(\left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec c = 0\) (do \(AC \bot BK\));

         \(\left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c = \overrightarrow {KC}  \cdot \vec c = 0\) (do \(CK \bot BK\)).

Vì vậy \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0 \Rightarrow \widehat {BMN} = 90^\circ \).