Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(BK \bot AC,K \in AC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AK\) và \(CD\). Khi đó, \(\widehat {BMN}\) bằng bao nhiêu độ?
Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(BK \bot AC,K \in AC\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AK\) và \(CD\). Khi đó, \(\widehat {BMN}\) bằng bao nhiêu độ?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Lời giải
Trả lời: \(90\).
Đặt \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BK} = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\).
Khi đó: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right),\,\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec c} \right) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\).
Do đó: \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\left( {2\vec b - \vec c} \right)\left( {\vec a + \vec c} \right) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left[ {2\vec a \cdot \vec b + \left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c + \left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c} \right]{\rm{. }}\)
Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) (do \(\vec a \bot \vec b\)); \(\left( {\vec b - \vec a} \right)\vec c = \overrightarrow {AC} \cdot \vec c = 0\) (do \(AC \bot BK\));
\(\left( {\vec b - \vec c} \right)\vec c = \overrightarrow {KC} \cdot \vec c = 0\) (do \(CK \bot BK\)).
Vì vậy \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BM} = 0 \Rightarrow \widehat {BMN} = 90^\circ \).
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Chọn C.
Dựng \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AH} \)\( \Rightarrow AHMC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AM} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right| = AM\).
Gọi \(K\) đối xứng với \(A\) qua \(BC\) \( \Rightarrow \Delta AKM\) vuông tại \(K\).
\(AK = 2AH = a\sqrt 3 \) ; \(KM = CH = \frac{a}{2}\).
Khi đó, \(AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Chọn C.
Từ bài ra ta có \(\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD} = - 2\overrightarrow {OB} \).
Vì \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) cùng phương\( \Rightarrow \exists k\) sao cho \(\overrightarrow {ON} = k\overrightarrow {OM} \Rightarrow \overrightarrow {ON} = \frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
Đặt \(\frac{{CN}}{{ND}} = k,k > 0\). Ta có: \(\overrightarrow {ON} = \frac{{ - 3}}{{1 + k}}.\overrightarrow {OA} - \frac{{2k}}{{k + 1}}\overrightarrow {OB} \).
\( \Rightarrow \frac{{ - 6}}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{{ - 4k}}{{k\left( {k + 1} \right)}} \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập