Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3\,{\rm{cm}}.\)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)

b) Gọi điểm \(I\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI = \frac{2}{3}BC.\) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} .\)

c) Tìm tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} } \right|.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm. a) Tính tích vô hướng vecto AB. vecto AC (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = 3.3.\cos 60^\circ = \frac{9}{2}.\)

b) \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

c) \[|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} |\]

\[ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {CA} } \right|\] \[ \Leftrightarrow MG = CA = 3\] (\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)).

Vậy \(\Delta ABC\) cố định suy ra \(G\) cố định tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \({\rm{3}}\,{\rm{cm}}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để sản xuất ít nhất \(140kg\)chất \(A\) và \(18kg\) chất \(B.\) Với mỗi tấn nguyên liệu loại \(I\), người ta chiết xuất được \(20{\rm{ kg}}\)chất \(A\) và \(1,2{\rm{ kg}}\) chất \(B\). Với mỗi tấn nguyên liệu loại \(II\), người ta chiết xuất được \(10{\rm{ kg}}\)chất \(A\) và \(3{\rm{ kg}}\) chất \(B\). Giá mỗi tấn nguyên liệu loại \(I\) là \(8\) triệu đồng và loại \(II\) là \(6\) triệu đồng. Hỏi người ta phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đạt mục tiêu đề ra. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp tối đa \(9\) tấn nguyên liệu loại \(I\) và \(8\) tấn nguyên liệu loại \(II\).

Lời giải

Lời giải

Gọi \(x,y\) lần lượt là số tấn nguyên liệu loại \(I\) và loại \(II\) cần dùng.

Điều kiện: \(0 \le x \le 9;0 \le y \le 8\).

Theo giả thiết, ta có bất phương trình \(0,02x + 0,01y \ge 0,14\) hay \(2x + y \ge 14\).

Theo giả thiết, ta có bất phương trình \(0,0012x + 0,003y \ge 0,018\) hay \(2x + 5y \ge 30\).

Khi đó để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đạt mục tiêu đề ra thì ta cần tìm \(x,y\) sao cho biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 8x + 6y\) nhỏ nhất với \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 14\\2x + 5y \ge 30\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta được miền ngiệm của hệ là miền trong tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ), với \(A\left( {8;3} \right),B\left( {5;4} \right),C\left( {9;8} \right),D\left( {9;\frac{{12}}{5}} \right)\).

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để sản xuất ít nhất 140kg chất A và 18kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại I, người ta chiết xuất được 20 kg chất A và 1,2 kg chất B (ảnh 1)

- Tại đỉnh \(A,\) ta có \(F = 82\).

- Tại đỉnh \(B,\) ta có \(F = 64\).

- Tại đỉnh \(C,\) ta có \(F = 120\).

- Tại đỉnh \(D,\) ta có \(F = 86,4\).

Vậy cơ sở cần mua \(5\) tấn nguyên liệu loại I và \(4\) tấn nguyên liệu loại II thì chi phí thấp nhất \(64\) triệu đồng.

Câu 2

Một cầu thủ bóng đá thực hiện đá phạt tại vị trí vuông góc với khung thành, bóng đi đúng hướng phía khung thành theo quỹ đạo là đường cong Parabol \(h\left( x \right) = - 0,0073{x^2} + 0,1x + 2,7\) với \(h\)(đơn vị tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất tại nơi cách vạch vôi khung thành một khoảng \(x\,\,{\rm{(m)}}\) (tham khảo hình vẽ).

a) Vị trí đặt bóng đá phạt cách vạch vôi khung thành bao nhiêu mét?

b) Khi sút phạt đội bạn sẽ cử 4 đến 5 người làm “hàng rào” chắn bóng cách vị trí đặt bóng đá phạt là \(9,5\,{\rm{m}}\). Hỏi quả bóng đá theo quỹ đạo này có vượt qua được “hàng rào” không và cầu thủ đá phạt có đưa được bóng vào phạm vi của khung thành không? Biết rằng, cầu thủ của đội bạn chỉ nhảy cao được tối đa \(2\,{\rm{m}}\) để chắn bóng và khung thành có chiều cao \(2,4\,{\rm{m}}\) (Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

a) Vị trí cầu thủ sút phạt đặt bóng tương ứng với độ cao \(0\,\,{\rm{(m)}}\), như vậy ta có

\(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,0073{x^2} + 0,1x + 2,7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx - 13,57\\x \approx 27,26\end{array} \right.\).

Vì \(x\) là khoảng cách nên ta nhận \(x \approx 27,26\).

Vậy quả bóng đặt cách vạch vôi khung thành khoảng \(27,26\,{\rm{m}}\).

b) Khoảng cách từ vạch vôi đến hàng rào là: \[27,26 - 9,5 \approx 17,76\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Tại \(x \approx 17,76\,\,{\rm{m}}\) độ cao của quả bóng là \(h\left( {17,76} \right) \approx 2,17\,\,{\rm{m}}\).

Vậy bóng bay vượt qua được “hàng rào”.

Tại \(x = 0\) độ cao của quả bóng là \(h\left( 0 \right) = 2,7\,{\rm{m}}\).

Vậy bóng đã bay cao hơn khung thành có chiều cao \(2,4\,{\rm{m}}\) nên bóng không thể bay vào phạm vi khung thành được.

Câu 3