Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh\(AB = c,BC = a,CA = b\). Gọi \(G,\) I lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\), biết \(IG \bot IC\). Chứng minh rằng: \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) = 6ab.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Chứng minh được : \[a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Rightarrow a\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CA} } \right) + b\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CB} } \right) + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {CI} = \frac{1}{{a + b + c}}\left( {a.\overrightarrow {CA} + b.\overrightarrow {CB} } \right)\]
\[\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CG} = \left( {\frac{a}{{a + b + c}} - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {CA} + \left( {\frac{b}{{a + b + c}} - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {CB} \]
\(IG \bot IC \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} .\overrightarrow {GI} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {2a - b - c} \right)\overrightarrow {CA} + \left( {2b - a - c} \right)\overrightarrow {CB} } \right]\left( {a\overrightarrow {CA} + b\overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \left( {ab + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \right)\left[ {b\left( {2a - b - c} \right) + a\left( {2b - a - c} \right)} \right] = 0\]
(vì \[ab + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = ab + ab\cos C = ab\left( {1 + \cos C} \right) > 0\])
\[ \Leftrightarrow \]\[b\left( {2a - b - c} \right) + a\left( {2b - a - c} \right) = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow b\left( {3a - a - b - c} \right) + a\left( {3b - a - b - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) = 6ab\end{array}\]
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
1. BBT của hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2\)
Bảng giá trị
Đồ thị
2. Từ đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a + b + 6 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\end{array} \right.\) . Vậy \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2} - 4x + 6.\)
Lời giải
Lời giải
Gọi \(x,y\) lần lượt là số tấn nguyên liệu loại \(I\) và loại \(II\) cần dùng.
Điều kiện: \(0 \le x \le 9;0 \le y \le 8\).
Theo giả thiết, ta có bất phương trình \(0,02x + 0,01y \ge 0,14\) hay \(2x + y \ge 14\).
Theo giả thiết, ta có bất phương trình \(0,0012x + 0,003y \ge 0,018\) hay \(2x + 5y \ge 30\).
Khi đó để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đạt mục tiêu đề ra thì ta cần tìm \(x,y\) sao cho biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 8x + 6y\) nhỏ nhất với \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 14\\2x + 5y \ge 30\end{array} \right.\).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta được miền ngiệm của hệ là miền trong tứ giác \(ABCD\) (như hình vẽ), với \(A\left( {8;3} \right),B\left( {5;4} \right),C\left( {9;8} \right),D\left( {9;\frac{{12}}{5}} \right)\).
- Tại đỉnh \(A,\) ta có \(F = 82\).
- Tại đỉnh \(B,\) ta có \(F = 64\).
- Tại đỉnh \(C,\) ta có \(F = 120\).
- Tại đỉnh \(D,\) ta có \(F = 86,4\).
Vậy cơ sở cần mua \(5\) tấn nguyên liệu loại I và \(4\) tấn nguyên liệu loại II thì chi phí thấp nhất \(64\) triệu đồng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập