Dựa vào thông tin dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 29 đến câu 30.

Một bờ hồ có dạng nửa đường tròn bán kính 2 km, đường kính là \(PR\). Từ điểm \(P\), Nam chèo thuyền với vận tốc 3 km/h đến một điểm \(Q\) trên bờ hồ, rồi chạy bộ dọc theo bờ hồ từ \(Q\) đến \(R\) với vận tốc 6 km/h.

 

Giả sử Nam chọn điểm \(Q\) sao cho đoạn thẳng \(PQ\) đúng bằng bán kính hồ. Hỏi thời gian Nam chèo thuyền từ \(P\) đến \(Q\) là bao nhiêu?    

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\)như hình vẽ, với \(O\) là trung điểm \(PR\).

Khi đó \(O\left( {0;0} \right),P\left( { - 2;0} \right),R\left( {2;0} \right)\).

Giả sử \(Q\) là điểm trên cung tròn sao cho \(\widehat {QOR} = \theta \left( {0 \le \theta  \le \pi } \right)\).

Vì \(Q\) nằm trên đường tròn tâm \(O\), bán kính 2 nên \(Q\left( {2\cos \theta ;2\sin \theta } \right)\).

Độ dài đoạn đường chèo thuyền là

\(PQ = \sqrt {{{\left( {2\cos \theta  + 2} \right)}^2} + {{\left( {2\sin \theta } \right)}^2}}  = \sqrt {8 + 8\cos \theta }  = 2\sqrt {2\left( {1 + \cos \theta } \right)}  = 4\cos \frac{\theta }{2}\).

Thời gian chèo thuyền là \({t_1} = \frac{{PQ}}{3} = \frac{{4\cos \frac{\theta }{2}}}{3}\).

Độ dài cung tròn từ \(Q\) đến \(R\)là \(l = R\theta  = 2\theta \). Thời gian chạy bộ là \({t_2} = \frac{l}{6} = \frac{{2\theta }}{6} = \frac{\theta }{3}\).

Tổng thời gian di chuyển là

\(T\left( \theta  \right) = \frac{{4\cos \frac{\theta }{2}}}{3} + \frac{\theta }{3}\) với \(\theta  \in \left[ {0;\pi } \right]\).

Ta có \(T'\left( \theta  \right) =  - \frac{2}{3}\sin \frac{\theta }{2} + \frac{1}{3}\).

Có \(T'\left( \theta  \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{\theta }{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\theta }{2} = \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \theta  = \frac{\pi }{3}\).

Ta có \(T\left( 0 \right) = \frac{4}{3} \approx 1,33\) giờ; \(T\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{4\cos \frac{\pi }{6}}}{3} + \frac{\pi }{9} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,50\) giờ; \(T\left( \pi  \right) = \frac{{4\cos \frac{\pi }{2}}}{3} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} \approx 1,05\) giờ.

Vậy thời gian ít nhất là \(T\left( \pi  \right) = \frac{\pi }{3} \approx 1,05\) giờ. Chọn A.