Một dự án bảo tồn thiên nhiên thực hiện việc tái thả một loài chim quý hiếm vào khu bảo tồn quốc gia. Sau khi theo dõi, các chuyên gia nhận thấy số lượng cá thể của loài này phát triển tuân theo quy luật của hàm số tăng trưởng \(f\left( t \right) = \frac{{3000}}{{1 + 3{e^{ - t}}}},t \ge 0\), trong đó \(t\)là thời gian tính bằng năm kể từ khi bắt đầu dự án tái thả, \(f'\left( t \right)\) là hàm số cho biết tốc độ tăng trưởng của quần thể chim tại thời điểm \(t\). Sau bao nhiêu năm kể từ khi bắt đầu dự án thì tốc độ tăng trưởng quần thể chim đạt mức cao nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: ____

Ta có: \(f\left( t \right) = \frac{{3\,000}}{{1 + 3{{\rm{e}}^{ - t}}}} = \frac{{3\,000{{\rm{e}}^t}}}{{{{\rm{e}}^t} + 3}}\)\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{9\,000{e^t}}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^2}}}.\)

Tốc độ tăng trưởng của quần thể chim đạt mức cao nhất tức là \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.

Xét hàm số \(h\left( t \right) = f'\left( t \right) = \frac{{9\,000{e^t}}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^2}}}\), \(t \ge 0\)

Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {9000{e^t}} \right)}^\prime } \cdot {{\left( {{e^t} + 3} \right)}^2} - 2\left( {{e^t} + 3} \right) \cdot {{\left( {{e^t} + 3} \right)}^\prime } \cdot 9000{e^t}}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^4}}} = \frac{{9000{e^t} \cdot \left( {3 - {e^t}} \right)}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^3}}}\)

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - {e^t} = 0 \Leftrightarrow {e^t} = 3 \Leftrightarrow t = \ln 3\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \(h\left( t \right)\), với \(t \ge 0\) suy ra tốc độ tăng trưởng của quần thể chim \(h\left( t \right)\) lớn nhất khi\(t = \ln 3 \approx 1,1\)

Vậy sau khi tái thả khoảng \(t = \ln 3 \approx 1,1\) năm thì thì tốc độ tăng trưởng của quần thể chim là lớn nhất.

Đáp án cần nhập là: 1,1.