Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a,AB = a\sqrt 2 ,AD = a\). Tính góc giữa đường thẳng \(B'D\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).    

Trong một buổi diễn tập, một trạm chỉ huy được đặt tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) (đơn vị tính theo km). Các kỹ thuật viên vận hành một thiết bị đánh chặn tầm thấp (drone chiến thuật) có tầm hoạt động tối đa 50 km và vận tốc bay không đổi là 500 m/s. Một mục tiêu giả định (máy bay mục tiêu) đang di chuyển theo đường thẳng để thoát khỏi khu vực diễn tập theo hướng có vector chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {3; - 4;0} \right)\) với vận tốc không đổi là 900 km/h. Tại thời điểm trạm chỉ huy xác định được vị trí của máy bay mục tiêu ở tọa độ \(A\left( { - 44;16;24} \right)\), drone đánh chặn được lệnh xuất phát ngay lập tức từ gốc tọa độ \(O\) để thực hiện nhiệm vụ và đã tiếp cận mục tiêu thành công. Tính khoảng cách từ trạm chỉ huy đến vị trí máy bay mục tiêu tại thời điểm drone tiếp cận được máy bay đó (tính bằng km). Giả sử máy bay mục tiêu và drone đều di chuyển theo đường thẳng trong điều kiện lý tưởng, bỏ qua ảnh hưởng của gió và trọng lực.

Đáp án: ___

Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\)sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in \mathbb{N};1 \le x \le 300} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là \(F\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất \(x\)sản phẩm là \(G\left( x \right) = 300 + \frac{{100}}{x}\) (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất \(x\)sản phẩm là \(H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x - 50000\) (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: ____

Thí sinh điền đáp án vào ô trống theo yêu cầu từ câu 31 đến câu 40.

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 9 = 0\left( {a,b,c \ne 0} \right)\). Biết rằng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị \(a + b + c.\)

Đáp án: ___

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(P\left( {3\,;\,1\,;\,0} \right),\,Q\left( {2\,;\,3\,;\,0} \right)\) và điểm \(N\) di động trên tia \(Oz\). Gọi \(E,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(P\) lên \(OQ\) và \(NQ\). Đường thẳng \(EF\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(T\). Khi thể tích khối tứ diện \(PQNT\) nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\) có dạng \(ax + by + cz - 9 = 0\). Tính \(a + b + c\).

Đáp án: __