Dựa vào thông tin dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 28 đến câu 30.

Trong một phòng thí nghiệm, một kỹ thuật viên đang tiến hành bơm khí vào một quả bóng bay bằng bơm tự động với tốc độ là 100 cm³/s. Quả bóng luôn giữ được dạng hình cầu trong suốt quá trình bơm. Theo thông số kỹ thuật, đây là loại bóng đặc biệt: nếu bán kính vượt quá 30 cm thì bóng sẽ bị bể (nổ). Giả sử tại thời điểm bắt đầu bơm (\(t = 0\)), quả bóng hoàn toàn không có khí \(\left( {V = 0} \right)\). Biết thể tích khối cầu được tính theo công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Sau khi bơm hoạt động được đúng 10 giây, kỹ thuật viên tạm dừng để kiểm tra độ giãn nở. Bán kính quả bóng tại thời điểm này là (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

1. Đúng. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 sản phẩm nên \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\).

2. Đúng. \(B = \left( {B \cap A} \right) \cup \left( {B \cap \overline A } \right)\).

3. Sai. Theo đề ta có \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{8}\).

4. Sai. Theo đề ta có \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2};P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{12}}\).

Xác suất để chọn được sản phẩm đạt chuẩn là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{12}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} = \frac{{29}}{{48}}\).

Suy ra xác suất để sản phẩm đó từ lô A là

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{12}}}}{{\frac{{29}}{{48}}}} = \frac{{14}}{{29}}\]. Chọn 1, 2.

Đường thẳng \(OQ\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {OQ}  = \left( {2\,;\,3\,;\,0} \right)\) nên có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3t\\z = 0\end{array} \right.\].

\(E \in OQ \Rightarrow E\left( {2t\,;\,3t\,;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {PE}  = \left( {2t - 3\,;\,3t - 1\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {PE}  \cdot \overrightarrow {OQ}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 3} \right) + 3\left( {3t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{{13}} \Rightarrow E\left( {\frac{{18}}{{13}}\,;\,\frac{{27}}{{13}}\,;\,0} \right)\).

\(N\) di động trên tia \(Oz\)\( \Rightarrow N\left( {0\,;\,0\,;\,n} \right)\).  \(\left( {n > 0} \right)\)

Đường thẳng \(NQ\)có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {NQ}  = \left( {2\,;\,3\,;\, - n} \right)\) nên có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2{t_1}\\y = 3 + 3{t_1}\\z =  - n{t_1}\end{array} \right.\].

\(\overrightarrow {PF}  = \left( {2{t_1} - 1\,;\,3{t_1} + 2\,;\, - n{t_1}} \right)\)

\(\overrightarrow {PF}  \cdot \overrightarrow {NQ}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2{t_1} - 1} \right) + 3\left( {3{t_1} + 2} \right) + {n^2}{t_1} = 0 \Leftrightarrow {t_1} = \frac{{ - 4}}{{13 + {n^2}}}\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{{18 + 2{n^2}}}{{13 + {n^2}}}\,;\,\frac{{27 + 3{n^2}}}{{13 + {n^2}}}\,;\,\frac{{4n}}{{13 + {n^2}}}} \right)\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {EF}  = \left( {\frac{{8{n^2}}}{{13\left( {13 + {n^2}} \right)}}\,;\,\frac{{12{n^2}}}{{13\left( {13 + {n^2}} \right)}}\,;\,\frac{{4n}}{{13 + {n^2}}}} \right) = \frac{{4n}}{{13\left( {13 + {n^2}} \right)}}\left( {2n\,;\,3n\,;\,13} \right)\].

Đường thẳng \(EF\) có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{{13}} + 2n{t_2}\\y = \frac{{27}}{{13}} + 3n{t_2}\\z = 13{t_2}\end{array} \right.\].

Đường thẳng \(EF\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(T\) \[ \Rightarrow \frac{{18}}{{13}} + 2n{t_2} = 0 \Leftrightarrow {t_2} =  - \frac{9}{{13n}}\]\( \Rightarrow T\left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{9}{n}} \right)\).

\(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {PN}  = \left( { - 3\,;\, - 1\,;\,n} \right)\); \(\overrightarrow {PT}  = \left( { - 3\,;\, - 1\,;\, - \frac{9}{n}} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PN} } \right] = \left( {2n\,;\,n\,;\,7} \right)\).

\({V_{PQNT}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PN} } \right] \cdot \overrightarrow {PT} } \right| = \frac{7}{6}\left| {n + \frac{9}{n}} \right| = \frac{7}{6}\left( {n + \frac{9}{n}} \right) \ge \frac{7}{6} \cdot 2\sqrt {n \cdot \frac{9}{n}}  = 7\)   (Vì \(n > 0\))

Dấu \( = \) xảy ra \( \Leftrightarrow n = \frac{9}{n} \Leftrightarrow {n^2} = 9 \Leftrightarrow n =  \pm 3 \Leftrightarrow n = 3\).   (Vì \(n > 0\))

Khi đó \(P\left( {3\,;\,1\,;\,0} \right)\); \(E\left( {\frac{{18}}{{13}}\,;\,\frac{{27}}{{13}}\,;\,0} \right)\); \(F\left( {\frac{{18}}{{11}}\,;\,\frac{{27}}{{11}}\,;\frac{6}{{11}}} \right)\)

\(\overrightarrow {PE}  = \left( { - \frac{{21}}{{13}}\,;\,\frac{{14}}{{13}}\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {PF}  = \left( { - \frac{{15}}{{11}}\,;\,\frac{{16}}{{11}}\,;\,\frac{6}{{11}}} \right)\)

Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\)là: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 3;2;0} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 15;16;6} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\)là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {12\,;\,18\,;\, - 18} \right) = 6\left( {2;3; - 3} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\): \(2\left( {x - 3} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 3z - 9 = 0\)

\( \Rightarrow a = 2,b = 3,c =  - 3 \Rightarrow a + b + c = 2\).

Đáp án cần nhập là: 2.