Cho tam giác nhọn \[ABC\] (\[AB < AC\]) nội tiếp đường tròn \[(O)\], các đường cao \[BE,CF\]cắt nhau ở \[H\].

(a) Chứng minh bốn điểm \[B,F,E,C\]cùng thuộc một đường tròn.

(b) Tia \[EF\] cắt tia \[CB\] tại \[M\]. Chứng minh : \[MF.ME = MB.MC\]

(c) Tia \[AH\] cắt \[BC\] tại D. Đường thẳng qua \[B\] và song song với \[AC\], cắt tia \[AD\] tại P, cắt đoạn thẳng \[AM\] tại \[Q\]. Chứng minh \[FC\] là tia phân giác của góc \[EFD\] và \[BP = BQ\].

Nhằm khuyến khích học sinh sử dụng phương tiện công cộng, trạm xe buýt phát hành thẻ tháng. Nếu mua thẻ tháng, học sinh tốn \(50.000\) đồng phí làm thẻ và trả \(3.000\) đồng cho mỗi lượt đi. Nếu không có thẻ, học sinh phải trả \(7.000\) đồng cho mỗi lượt đi. Hỏi một học sinh phải đi ít nhất bao nhiêu lượt xe buýt trong một tháng để việc sử dụng thẻ tháng tiết kiệm chi phí hơn so với việc mua vé lẻ từng lượt?

Để đo chiều cao của một cây cổ thụ trong sân trường, một học sinh đứng cách gốc cây 10 m. Từ tầm mắt của học sinh nhìn lên đỉnh cây tạo thành một góc ngắm \(40^\circ \) so với phương nằm ngang. Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt của học sinh là 1,5 m. Tính chiều cao của cây cổ thụ đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Một chiếc nón lá truyền thống có hình dạng là một hình nón. Biết đường kính của vành nón là \(40{\rm{ cm}}\) và độ dài đường sinh của chiếc nón là \(30{\rm{ cm}}\). Tính chu vi của vành nón lá và tính diện tích phần lá dùng để lợp kín xung quanh chiếc nón đó (Lấy \(\pi \approx 3,14\) và bỏ qua các mép gấp).

Tính giá trị của biểu thức: \(A = \sqrt {12} + 3\sqrt 3 - \sqrt {48} + \sqrt {{{(2 - \sqrt 3 )}^2}} \).

Rút gọn biểu thức sau:\(B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\) với \(x \ge 0,x \ne 25\).

Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số trên. Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 18.