Cho tam giác nhọn \[ABC\] (\[AB < AC\]) nội tiếp đường tròn \[(O)\], các đường cao \[BE,CF\]cắt nhau ở \[H\].

(a) Chứng minh bốn điểm \[B,F,E,C\]cùng thuộc một đường tròn.

(b) Tia \[EF\] cắt tia \[CB\] tại \[M\]. Chứng minh : \[MF.ME = MB.MC\]

(c) Tia \[AH\] cắt \[BC\] tại D. Đường thẳng qua \[B\] và song song với \[AC\], cắt tia \[AD\] tại P, cắt đoạn thẳng \[AM\] tại \[Q\]. Chứng minh \[FC\] là tia phân giác của góc \[EFD\] và \[BP = BQ\].

Để đo chiều cao của một cây cổ thụ trong sân trường, một học sinh đứng cách gốc cây 10 m. Từ tầm mắt của học sinh nhìn lên đỉnh cây tạo thành một góc ngắm \(40^\circ \) so với phương nằm ngang. Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt của học sinh là 1,5 m. Tính chiều cao của cây cổ thụ đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Nhằm khuyến khích học sinh sử dụng phương tiện công cộng, trạm xe buýt phát hành thẻ tháng. Nếu mua thẻ tháng, học sinh tốn \(50.000\) đồng phí làm thẻ và trả \(3.000\) đồng cho mỗi lượt đi. Nếu không có thẻ, học sinh phải trả \(7.000\) đồng cho mỗi lượt đi. Hỏi một học sinh phải đi ít nhất bao nhiêu lượt xe buýt trong một tháng để việc sử dụng thẻ tháng tiết kiệm chi phí hơn so với việc mua vé lẻ từng lượt?

Một chiếc nón lá truyền thống có hình dạng là một hình nón. Biết đường kính của vành nón là \(40{\rm{ cm}}\) và độ dài đường sinh của chiếc nón là \(30{\rm{ cm}}\). Tính chu vi của vành nón lá và tính diện tích phần lá dùng để lợp kín xung quanh chiếc nón đó (Lấy \(\pi \approx 3,14\) và bỏ qua các mép gấp).

Rút gọn biểu thức sau:\(B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\) với \(x \ge 0,x \ne 25\).

Trong một gian hàng trò chơi tại hội chợ Xuân, có một hộp kín đựng 5 quả bóng có cùng kích thước và khối lượng, được đánh số từ 1 đến 5. Một người chơi được rút ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp.

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

(b) Người chơi sẽ trúng thưởng nếu tổng các số ghi trên hai quả bóng rút được là một số chẵn. Tính xác suất trúng thưởng của người chơi đó.

Ông A dự định sơn lại một mảng tường hình chữ nhật có diện tích là \(96\,{m^2}\)và chu vi bằng \(40\,m\). Trên mảng tường này có thiết kế một ô cửa sổ cũng hình chữ nhật. Biết rằng chiều dài và chiều rộng của mảng tường lần lượt gấp 4 lần chiều dài và chiều rộng của ô cửa sổ đó. Hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảng tường và diện tích của ô cửa sổ để ông A tính toán lượng sơn cần mua.