Nhằm khuyến khích học sinh sử dụng phương tiện công cộng, trạm xe buýt phát hành thẻ tháng. Nếu mua thẻ tháng, học sinh tốn \(50.000\) đồng phí làm thẻ và trả \(3.000\) đồng cho mỗi lượt đi. Nếu không có thẻ, học sinh phải trả \(7.000\) đồng cho mỗi lượt đi. Hỏi một học sinh phải đi ít nhất bao nhiêu lượt xe buýt trong một tháng để việc sử dụng thẻ tháng tiết kiệm chi phí hơn so với việc mua vé lẻ từng lượt?

a) Chứng minh được \[\widehat {BEC} = {90^0}\]

suy ra B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC

Chứng minh được \(BFC={90}^{0}\)suy ra B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy bốn điểm \[B,F,E,C\]cùng thuộc đường tròn đường kính BC

b) Vì tứ giác \(BFEC\) nội tiếp nên góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {MBF}\) (cùng bù với \(\widehat {FBC}\)).

Xét và có:

Góc \(\hat M\) chung; \(\widehat {MEC} = \widehat {MBF}\) (cmt).

(g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{{ME}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{MF}} \Rightarrow \) \(MF \cdot ME = MB \cdot MC\) (đpcm).

c) 

Chứng minh được H là trực tâm \(ΔABC\)

Từ đó suy ra bốn điểm \[B,F,H,D\]cùng thuộc đường tròn đường kính BH

Suy ra $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

Xét đường tròn đường kính BC\(có\\[\\widehat \{EFC\} = \\widehat \{EBC\}\\]\) ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Suy ra \[\widehat {EFC} = \widehat {CFD}\] khi đó \(FC\)là tia phân giác \(\widehat {EFD}\)\(\left. đpcm \right.\)

Chứng minh được FB là phân giác trong tại đỉnh F của tam giác FMD

Mà FC là phân giác ngoài tại đỉnh F tam giác FMD

Suy ra $\frac{CD}{CM}=\frac{BD}{BM}(=\frac{FD}{FM})$

Từ đó suy ra $\frac{AC}{QB}=\frac{CM}{BM}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BP} Suy ra BP = BQ$

Chiều cao từ tầm mắt học sinh đến đỉnh cây là \(AB\). Ta có tam giác vuông ABE được tạo bởi khoảng cách từ người đến cây, tia nhìn ngang và tia nhìn lên đỉnh.

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABE\)vuông tại B:

\(AB = 10 \cdot \tan 40^\circ \approx 8,391\) (m).

Vậy chiều cao thực tế của cây là khoảng 9,9 m