Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = m(1)\\x + (m - 1)y = 2(2)\end{array} \right.\], \[m\] là tham số, giả sử hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x,y} \right)\]

a. Tìm đẳng thức liên hệ giữa \[x\] và \[y\] không phụ thuộc vào \[m\]

b. Tìm giá trị của \[m\] thỏa mãn \[2{x^2} - 7y = 1\]

c. Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức \[\frac{{2x - 3y}}{{x + y}}\] nhận giá trị nguyên.

a. Từ (1) ta có: \[y = m - \left( {m - 1} \right)x\], thay vào phương trình (2) ta được:

\[x + \left( {m - 1} \right)\left[ {m - \left( {m - 1} \right)x} \right] = 2\]

\[\left( {{m^{\rm{2}}} - 2m} \right)x = {m^2} - m - 2\]

\[m\left( {m - 2} \right)x = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)\]

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right. \Rightarrow x - y = 1\] là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b. Ta có: \[x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1;\] \[2{(y + 1)^2} - 7y = 1\]

\[2{y^2} - 3y + 1 = 0\]

\[y = 1\] hoặc \[y = \frac{1}{2}\]

+) Với \[y = 1\] thì \[\frac{1}{m} = 1\] hay \[m = 1\]

+) Với \[y = \frac{1}{2}\] thì \[\frac{1}{m} = \frac{1}{2}\] hay \[m = 2\] (loại)

Vậy \[m = 1\] là giá trị cần tìm.

c. Ta có \[\frac{{2x - 3y}}{{x + y}} = \frac{{2(y + 1) - 3y}}{{2y + 1}}\]\[ = \frac{{2 - y}}{{2y + 1}} = \frac{{2m - 1}}{{m + 2}}\]\[ = 2 - \frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}\]

Khi đó \[\frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}\] nên \[m + 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\], suy ra \[m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}\].

Vậy \[m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}\].