1) Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí \[B\] hướng tới vị trí \[A.\] Tuy nhiên do nước chảy nên khi qua tới bờ, thuyền tới vị trí \[C\] cách \[A\] một khoảng là \(22\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Trong suốt quá trình qua sông, vận tốc chuyển động của xuồng là \(v = 2\,{\rm{m/s}}\). Biết độ dài quãng đường xuồng đi được cho bởi hàm số \(s = vt\), với \(t\) là thời gian. Tính khoảng cách AB giữa hai bờ sông biết rằng để đi từ B tới C thì xuồng mất khoảng thời gian là \(61\) giây.

2) Cho hình vuông \(ABCD\) lấy \(M\) trên đường chéo \(AC\left( {AM > MC} \right)\). Kẻ \(MI\) vuông góc với \(AD\left( {I \in AD} \right)\). Gọi \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\).

a) Tứ giác \(AMNP\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh \(BM = PD\).

c) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(BM\) và \(PD\). Chứng minh ba điểm \(C,\,\,Q,\,\,N\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Từ \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\) ta có

\[3{x^2} + 2{y^2} - 5xy = 0\]

\[3{x^2} - 3xy + 2{y^2} - 2xy = 0\]

\[3x\left( {x - y} \right) + 2y\left( {y - x} \right) = 0\]

\[\left( {x - y} \right)\left( {3x - 2y} \right) = 0\]

Suy ra \(3x = 2y\) (vì \(x < y\) nên \(x - y \ne 0)\)

Hay \(y = 1,5x\)

Ta có \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}} = \frac{{1,5x + 2x}}{{1,5x - 2x}} = \frac{{3,5x}}{{ - 0,5x}} =  - 7.\)

Vậy \(S =  - 7.\)

b) Ta có \(\frac{M}{{41}} = \frac{{7{x^2} - 13xy + {y^2}}}{{2{x^2} + xy + 3{y^2}}}\).

Nếu \(y = 0\) thì \({x^2} = \frac{{41}}{2}\). Do đó \(M = \frac{{287}}{2}\).

Nếu \(y \ne 0\) thì \(P = \frac{M}{{41}} = \frac{{7{t^2} - 13t + 1}}{{2{t^2} + t + 3}}\) với \(t = \frac{x}{y}\).

Ta được \(\left( {2P - 7} \right){t^2} + \left( {P + 13} \right)t + 3P - 1 = 0\)

Suy ra \({\left[ {t + \frac{{P + 13}}{{2.\left( {2P - 7} \right)}}} \right]^2} = \frac{{{{\left( {P + 13} \right)}^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right)}}{{4.{{\left( {2P - 7} \right)}^2}}}\).

Phương trình trên có nghiệm nên \({\left( {P + 13} \right)^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right) \ge 0\)

Suy ra \(\left( {P + 1} \right)\left( {141 - 23P} \right) \ge 0\)

Do đó \( - 1 \le P \le \frac{{141}}{{23}}\)

Nên \( - 41 \le M \le \frac{{5781}}{{23}}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{{5781}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{ - 20}}{{\sqrt {23} }},\,\,y = \frac{{11}}{{\sqrt {23} }}\).

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta có: \[A = \frac{{2.4 + 3}}{{4 + 1}} = \frac{{11}}{5}\].

Vậy \[A = \frac{{11}}{5}\] khi \(x = 4\).

b) Với điều kiện \(x \ne  - 1;x \ne  - 3\), biểu thức \(B\) được biến đổi như sau:

\(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)

\(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\[B = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + 3x + 3 - 6x - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]

\[B = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\].

c) \(P = A.B = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = 2 - \frac{3}{{x + 3}}.\)

Để \(P\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{3}{{x + 3}} \in \mathbb{Z}\) tức là \(x + 3 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng sau:

 Vậy \(x \in \left\{ { - 2; - 4; - 6} \right\}\).