a) Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x < y\) và \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\). Tính giá trị của biểu thức \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}}\).
b) Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(2{x^2} + xy + 3{y^2} = 41\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 7{x^2} - 13xy + {y^2}\).
a) Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x < y\) và \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\). Tính giá trị của biểu thức \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}}\).
b) Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(2{x^2} + xy + 3{y^2} = 41\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 7{x^2} - 13xy + {y^2}\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Hà Nội năm học 2023-2024 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Từ \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\) ta có
\[3{x^2} + 2{y^2} - 5xy = 0\]
\[3{x^2} - 3xy + 2{y^2} - 2xy = 0\]
\[3x\left( {x - y} \right) + 2y\left( {y - x} \right) = 0\]
\[\left( {x - y} \right)\left( {3x - 2y} \right) = 0\]
Suy ra \(3x = 2y\) (vì \(x < y\) nên \(x - y \ne 0)\)
Hay \(y = 1,5x\)
Ta có \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}} = \frac{{1,5x + 2x}}{{1,5x - 2x}} = \frac{{3,5x}}{{ - 0,5x}} = - 7.\)
Vậy \(S = - 7.\)
b) Ta có \(\frac{M}{{41}} = \frac{{7{x^2} - 13xy + {y^2}}}{{2{x^2} + xy + 3{y^2}}}\).
Nếu \(y = 0\) thì \({x^2} = \frac{{41}}{2}\). Do đó \(M = \frac{{287}}{2}\).
Nếu \(y \ne 0\) thì \(P = \frac{M}{{41}} = \frac{{7{t^2} - 13t + 1}}{{2{t^2} + t + 3}}\) với \(t = \frac{x}{y}\).
Ta được \(\left( {2P - 7} \right){t^2} + \left( {P + 13} \right)t + 3P - 1 = 0\)
Suy ra \({\left[ {t + \frac{{P + 13}}{{2.\left( {2P - 7} \right)}}} \right]^2} = \frac{{{{\left( {P + 13} \right)}^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right)}}{{4.{{\left( {2P - 7} \right)}^2}}}\).
Phương trình trên có nghiệm nên \({\left( {P + 13} \right)^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right) \ge 0\)
Suy ra \(\left( {P + 1} \right)\left( {141 - 23P} \right) \ge 0\)
Do đó \( - 1 \le P \le \frac{{141}}{{23}}\)
Nên \( - 41 \le M \le \frac{{5781}}{{23}}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{{5781}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{ - 20}}{{\sqrt {23} }},\,\,y = \frac{{11}}{{\sqrt {23} }}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta có: \[A = \frac{{2.4 + 3}}{{4 + 1}} = \frac{{11}}{5}\].
Vậy \[A = \frac{{11}}{5}\] khi \(x = 4\).
b) Với điều kiện \(x \ne - 1;x \ne - 3\), biểu thức \(B\) được biến đổi như sau:
\(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
\(B = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 3}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\[B = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{6x + 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[B = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + 3x + 3 - 6x - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[B = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\]
\[B = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\].
c) \(P = A.B = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}} = 2 - \frac{3}{{x + 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{3}{{x + 3}} \in \mathbb{Z}\) tức là \(x + 3 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)
Ta có bảng sau:
|
\(x + 3\) |
\(1\) |
\( - 1\) |
\(3\) |
\( - 3\) |
|
\(x\) |
\( - 2\) |
\( - 4\) |
\(0\) |
\( - 6\) |
|
Kết hợp ĐK |
Thỏa mãn |
Thỏa mãn |
Loại |
Thỏa mãn |
Vậy \(x \in \left\{ { - 2; - 4; - 6} \right\}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
1) Ta có: \(BC = 2.61 = 122\,({\rm{m}})\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có
\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {122^2} - {22^2} = \left( {122 + 22} \right)\left( {122 - 22} \right) = 144 \cdot 100 = 14\,\,400\)
Do đó \(AB = \sqrt {14400} = 120\,({\rm{m}})\).
2)
a) Theo giả thiết, \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AN,\,MP\)
Suy ra tứ giác \(AMNP\) là hình bình hành (dhnb).
Do \(MP \bot AN\) nên \(AMNP\) là hình thoi.
Xét tam giác \(AIM\) có \(\widehat {AIM} = 90^\circ \), \(\widehat {IAM} = 45^\circ \) (do \(ABCD\) là hình vuông)
Nên \(\Delta AIM\) vuông cân tại \(I\) nên \(AI = IM\). Do đó \(AN = MP\).
Hình thoi \(AMNP\) có \(AN = MP\) nên \(AMNP\) là hình vuông.
b) Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AMD\), ta có:
\(AD\) là cạnh chung;
\(\widehat {PAD} = \widehat {MAD}\,\,\,\left( {\widehat {PAD} = \widehat {PAN} = 45^\circ = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}} \right);\)
\(AP = AM\) (do \(AMNP\) là hình vuông).
Vậy \(\Delta APD = \Delta AMD\) (c.g.c)
Suy ra \(PD = MD\) (3)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADM\), ta có:
\(AM\) là cạnh chung;
\(\widehat {BAM} = \widehat {DAM}\,\,\,\left( {\widehat {BAM} = \widehat {BAC} = 45^\circ = \widehat {DAC} = \widehat {DAM}} \right);\)
\(AB = AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ADM\) (c.g.c).
Suy ra \(BM = MD\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(BM = PD.\)
c)
Xét tứ giác \(APQM\), ta có: \(\widehat {MQP} = 360 - \widehat {MAP} - \widehat {APQ} - \widehat {AMQ}\)
Mà \(\widehat {APQ} = \widehat {AMD} = \widehat {AMB}\)
Nên \(\widehat {MQP} = 360^\circ - 90^\circ - \left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMQ}} \right) = 360^\circ - 90^\circ - 180^\circ = 90^\circ \).
Ta có \(I\) là giao 2 đường chéo hình vuông \(AMNP\), \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo hình vuông \(ABCD\).
Ta có: \(IQ = \frac{1}{2}PM = \frac{1}{2}AN\) nên \(\widehat {AQN} = 90^\circ ,\,\,OQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC.\)
Do đó \(\widehat {AQC} = 90^\circ \).
Vậy \(\widehat {AQN} + \widehat {AQC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \(C,Q,N\) thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập