Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right),\) có \(I\) là trung điểm của cạnh \(AC.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AB,\) đường thẳng này cắt tia \(BI\) tại \(D.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta CDI\) và suy ra tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

b) Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(IK\,{\rm{//}}\,AB\,\,\left( {K \in BC} \right).\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(K\) xuống cạnh \(AB.\) Chứng minh \(AK = IH.\)

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK\) và \(BD.\) Chứng minh ba điểm \(H,\,\,G,\,\,C\) thẳng hàng.

Do đó \[\Delta ABI = \Delta CDI\] (g.c.g).

Suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \(ABCD\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AB = CD\) nên là hình bình hành.

b) Cách 1: Vì \(AC \bot AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\) và \(KH \bot AB\) nên \(HK\,{\rm{//}}\,AI.\)

Xét tứ giác \(AIKH\) có \(HK\,{\rm{//}}\,AI\) và \(IK\,{\rm{//}}\,AH\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {HAI} = 90^\circ \) nên \(AIKH\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AK = IH\) (tính chất hình chữ nhật).

Cách 2: Vì \(IK\,{\rm{//}}\,AB\) mà \(AB \bot AC\) nên \(IK \bot AC,\) hay \(\widehat {AIK} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(AIKH\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {AIK} = \widehat {HAI} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Suy ra \(AK = IH\) (tính chất hình chữ nhật).

c) Vì \(AIKH\) là hình chữ nhật nên \(AI = HK\) và \(AH = IK\) (tính chất hình chữ nhật).

Mà \(AI = IC\) nên \(HK = IC.\)

Xét tứ giác \(IHKC\) có \(HK\,{\rm{//}}\,IC\) và \(HK = IC\) nên là hình bình hành.

Do đó \(HI = KC\) và \(HI\,{\rm{//}}\,KC\) (tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác \(HIKB\) có \[HI\,{\rm{//}}\,BK\] và \(BH\,{\rm{//}}\,IK\) nên là hình bình hành.

Do đó \(HI = BK\) và \(HB = IK\) (tính chất hình bình hành).

Ta có \(BK = HI\) và \(HI = KC\) nên \(BK = KC,\) hay \(K\) là trung điểm của \(BC.\)

\(AH = IK\) và \(HB = IK\) nên \(AH = HB,\) hay \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Khi đó \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(AK\) và \(BI\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác, do đó đường trung tuyến \(CH\) đi qua \(G,\) nên ba điểm \[H,{\rm{ }}G,{\rm{ }}C\] thẳng hàng.