Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\), vuông góc với \(\left( P \right)\), cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng bằng \(\frac{4}{3}\) và cắt các tia \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(B\) và \(C\) khác \(O\). Thể tích khối tứ diện \(OABC\) bằng

A. \(16\).

B. \(\frac{8}{3}\).

C. \(\frac{{16}}{3}\).

D. \(8\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Đại học Khoa học và Công nghệ Hà Nội năm 2026 - Đề số 4 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;2; - 1} \right)\).

Do \(\left( \alpha \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 2B - C = 0 \Leftrightarrow C = 2B\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right):Ax + By + 2Bz + D = 0\)

Do \(A \in \left( \alpha \right) \Leftrightarrow D = - 2A\). Vậy \(\left( \alpha \right):Ax + By + 2Bz - 2A = 0\).

Do \(\left( \alpha \right)\) cắt tia \(Oy\) và \(Oz\) nên \(A,B\) cùng dấu.

Mặt khác: \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2A} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {{\left( {2B} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + 5{B^2}} }} = \frac{4}{3}\).

\( \Leftrightarrow 36{A^2} = 16\left( {{A^2} + 5{B^2}} \right) \Leftrightarrow {A^2} = 4{B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\left( {TM} \right)\\\frac{A}{B} = - 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

Với \(\frac{A}{B} = 2\). Chọn \(A = 2 \Rightarrow B = 1\). Khi đó: \(\left( \alpha \right):2x + y + 2z - 4 = 0\). Do đó: \(B\left( {0;4;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;2} \right)\).

Vậy \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 = \frac{8}{3}\). Chọn B.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng A và B lần lượt sản xuất 55% và 45% tổng số sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ sản phẩm tốt của phân xưởng A và B lần lượt là 90% và 95%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy. Biết rằng sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất là

A. \(0,9225\).

B. \(0,54\).

C. \(0,45\).

D. \(0,9\).

Lời giải

Gọi A là biến cố “Sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất”;

\(B\)là biến cố “Sản phẩm đó là sản phẩm tốt”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,55;P\left( {\overline A } \right) = 0,45;P\left( {B|A} \right) = 0,9;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95\).

Xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm tốt là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) \( = 0,55 \cdot 0,9 + 0,45 \cdot 0,95 = 0,9225\).

Khi đó \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,55 \cdot 0,9}}{{0,9225}} = \frac{{22}}{{41}} \approx 0,54\). Chọn B.

Câu 2