Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu \(S\) lên mặt đáy là trung điểm \(H\) của \(CI\), góc giữa \(SA\) và đáy là \(45^\circ \). Khoảng cách giữa \(SA\) và \(CI\) bằng    

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\].

Ta có \(y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4mx + 3m + 1 \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right)\\m \notin \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\)

Có \(2{x^2} - 4mx + 3m + 1 \le 0\) \( \Leftrightarrow m \ge \frac{{1 + 2{x^2}}}{{4x - 3}}\)\[ \Leftrightarrow m \ge g\left( x \right)\].

Xét \(g\left( x \right) = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{4x - 3}}\).

Có \(g'\left( x \right) = \frac{{8{x^2} - 12x - 4}}{{{{\left( {3 - 4x} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\) vì \(x \in \left( {1;5} \right)\).

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\)

Do nguyên dương bé hơn 2024 nên \(5 \le m \le 2023\).

Vậy có tất cả 2019 giá trị. Chọn D.

Ta có \(s'\left( t \right) = 3{t^2} - 36t + 96\), \(s'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = 8\end{array} \right.\).

Trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\)vị trí của chất điểm di chuyển từ 0 đến 160 nên quãng đường đi được là 160 m.

Trên khoảng \(\left( {4;8} \right)\)vị trí của chất điểm di chuyển từ 160 xuống 128 nên quãng đường đi được là 32 m.

Trên khoảng \(\left( {8;10} \right)\)vị trí của chất điểm di chuyển từ 128 lên 160 nên quãng đường đi được là 32 m.

Vậy quãng đường di chuyển trong 10 giây đầu tiên là: 160 + 32 + 32 = 224. Chọn A.