Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn\(\log _a^2\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) \cdot {\log _a}(ab) - 4 = 0\). Giá trị của \({\left( {{{\log }_b}a} \right)^2}\) bằng bao nhiêu?    

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \).

Do đó, tam giác \(SAH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = AH\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(I\) ta có \(AH = \sqrt {A{I^2} + H{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).

Vẽ \(Ax\) song song \(CI\) và \(HE\) vuông góc \(Ax\) tại \(E\).

Ta có \[IC//AE\] nên \(IC//\left( {SAE} \right)\) \[ \Rightarrow {\rm{d}}\left( {IC,SA} \right) = {\rm{d}}\left( {IC,\left( {SAE} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {H,\left( {SAE} \right)} \right)\].

Vẽ \(HK \bot SE\) tại \(K\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot HE\\AE \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AE \bot HK\), mà \(HK \bot SE\) nên \(HK \bot \left( {SAE} \right)\),

do đó \({\rm{d}}\left( {H,\left( {SAE} \right)} \right) = HK\).

Ta có \(AIHE\) là hình bình hành nên \(HE = AI = \frac{a}{2}\).

Tam giác \(SHE\) vuông tại \(H\) nên \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{{44}}{{7{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {77} }}{{22}}\). Chọn C.

Do tổng xác suất thắng cờ của A và B trong 1 ván là 1 nên khi A thắng thì đồng nghĩa với việc B thua, A thua đồng nghĩa với việc B thắng.

Gọi X là biến cố: “A là người chiến thắng” \( \Rightarrow \overline X \) là biến cố: “B là người chiến thắng”.

B là người chiến thắng khi B thắng liên tiếp 3 ván, xác suất \(P\left( {\overline X } \right) = {\left( {0,45} \right)^3}\).

Xác suất xảy ra X là: \(P\left( X \right) = 1 - P\left( {\overline X } \right) = 1 - {\left( {0,45} \right)^3} = 0,91\). Chọn B.