(1,5 điểm).

Cho biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  - 6}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{2}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)\(\left( {x > 0;\,\,x \ne 4} \right)\)

1) Tính giá trị của \[B\] khi \[x = 9\].             

2) Rút gọn biểu thức \[A\].

3) Tìm các số nguyên \[x\] để \(\sqrt {AB}  < \frac{2}{3}\).     

Gọi số ngày tiết kiệm tiền của bạn học sinh là \(x\) ngày \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Số tiền bạn có được sau khi tiết kiệm là: \(5{\rm{ }}000x + 120{\rm{ }}000\) (đồng)

Theo đề bài ta có: \(5{\rm{ }}000x + 120{\rm{ }}000 \ge 300{\rm{ }}000\) nên \(x \ge 36\).

Vậy sau ít nhất 36 ngày thì bạn học sinh đó có đủ tiền để mua chiếc tai nghe.

Gọi chiều rộng đáy, chiều dài đáy và chiều cao của chiếc thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật lần lượt là \(x\),\(y\),\(z\) (\(dm\), \(x,\,y,\,z > 0\))

Tỉ số hai cạnh đáy là \(x:y = 1:3\), suy ra \(\frac{x}{1} = \frac{y}{3}\), suy ra \(y = 3x\)

Thùng giấy có thể tích là \(18d{m^3}\) nên ta có: \(xyz = 18\), suy ra  \(x.3x.z = 18\) , suy ra \(z = \frac{6}{{{x^2}}}\)

Diện tích giấy cần dùng để làm một chiếc hộp là:

\(S = {S_{xq}} + {S_{d\'a y}}\) \( = 2\left( {x + y} \right)z + xy\)

\(S = 2xz + 2yz + xy\)

\(S = x(3x) + 2x\left( {\frac{6}{{{x^2}}}} \right) + 2(3x)\left( {\frac{6}{{{x^2}}}} \right)\)

\(S = 3{x^2} + \frac{{12}}{x} + \frac{{36}}{x}\)

\(S = 3{x^2} + \frac{{48}}{x}\)

\(S = 3{x^2} + \frac{{24}}{x} + \frac{{24}}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(3{x^2}\), \(\frac{{24}}{x}\) và \(\frac{{24}}{x}\), ta có:

\(S \ge 3\sqrt[3]{{3{x^2} \cdot \frac{{24}}{x} \cdot \frac{{24}}{x}}} = 3\sqrt[3]{{1728}} = 3 \cdot 12 = 36\)

Dấu “=” xảy ra khi \(3{x^2} = \frac{{24}}{x}\), suy ra \({x^3} = 8\), suy ra \(x = 2\) (TM)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}y = 3.2 = 6\\z = \frac{6}{{{2^2}}} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\](TM)

Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì thùng có kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là \(6\,\)dm, \(2\) dm, \(\frac{3}{2}\) dm.