(0,5 điểm)

Một phân xưởng sản xuất những chiếc thùng giấy có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với các kích thước là \(x\),\(y\),\(z{\rm{ }}\)\({\rm{(dm)}}\) Biết tỉ số hai cạnh đáy là \(x:y = 1:3\), thể tích của thùng bằng \(18{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\). Để tốn ít vật liệu làm thùng nhất thì các kích thước của thùng là bao nhiêu? (Coi vật liệu để làm các mép nối không đáng kể)

Gọi chiều rộng đáy, chiều dài đáy và chiều cao của chiếc thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật lần lượt là \(x\),\(y\),\(z\) (\(dm\), \(x,\,y,\,z > 0\))

Tỉ số hai cạnh đáy là \(x:y = 1:3\), suy ra \(\frac{x}{1} = \frac{y}{3}\), suy ra \(y = 3x\)

Thùng giấy có thể tích là \(18d{m^3}\) nên ta có: \(xyz = 18\), suy ra  \(x.3x.z = 18\) , suy ra \(z = \frac{6}{{{x^2}}}\)

Diện tích giấy cần dùng để làm một chiếc hộp là:

\(S = {S_{xq}} + {S_{d\'a y}}\) \( = 2\left( {x + y} \right)z + xy\)

\(S = 2xz + 2yz + xy\)

\(S = x(3x) + 2x\left( {\frac{6}{{{x^2}}}} \right) + 2(3x)\left( {\frac{6}{{{x^2}}}} \right)\)

\(S = 3{x^2} + \frac{{12}}{x} + \frac{{36}}{x}\)

\(S = 3{x^2} + \frac{{48}}{x}\)

\(S = 3{x^2} + \frac{{24}}{x} + \frac{{24}}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(3{x^2}\), \(\frac{{24}}{x}\) và \(\frac{{24}}{x}\), ta có:

\(S \ge 3\sqrt[3]{{3{x^2} \cdot \frac{{24}}{x} \cdot \frac{{24}}{x}}} = 3\sqrt[3]{{1728}} = 3 \cdot 12 = 36\)

Dấu “=” xảy ra khi \(3{x^2} = \frac{{24}}{x}\), suy ra \({x^3} = 8\), suy ra \(x = 2\) (TM)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}y = 3.2 = 6\\z = \frac{6}{{{2^2}}} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\](TM)

Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì thùng có kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là \(6\,\)dm, \(2\) dm, \(\frac{3}{2}\) dm.