Một con cá bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là \(100\,km\). Vận tốc dòng nước là \(5\,km/h\). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\left( {km/h} \right)\), \(\left( {v > 5} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c.{v^3}.t\), trong đó \(c\) là hằng số dương, \(E\) được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {a\,;\,b} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của \(b - a\) (kết quả làm tròn tới hàng phần mười) .

a) Đúng.

Trong 4 giây đầu chất điểm chuyển động đều với vận tốc \({v_0}\) nên quảng đường di chuyển được trong 4 giây đầu là \(S(4) = 4{v_0}\,\,\left( m \right)\)

b) Sai.

Trong 4 giây đầu chất điểm chuyển động đều với vận tốc \({v_0}\), giây tiếp theo chất điểm chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\), do đó quãng đường đi được sau 5 giây là  \(S\left( 5 \right) = 4{v_0} + \int\limits_4^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \,\,\,\,\left( m \right)\)

c) Đúng.

Tại thời điểm \(t = 4\) vật đang chuyển động với vận tốc \({v_0}\) nên

\(v\left( 4 \right) = {v_0} \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}.4 + a = {v_0} \Leftrightarrow a = {v_0} + 10\)

d) Sai.

Vì \(a = {v_0} + 10\) suy ra \(v(t) =  - \frac{5}{2}t + {v_0} + 10\,\left( {m/s} \right),\,\left( {t \ge 4} \right)\)

Gọi \(k\) là thời điểm vật dừng hẳn, ta có:

\(v\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}k + {v_0} + 10 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}({v_0} + 10) \Leftrightarrow k = \frac{{2{v_0}}}{5} + 4\)

Tổng quãng đường vật đi được là

\(80 = 4{v_0} + \int\limits_4^k {( - \frac{5}{2}t + {v_0} + 10){\rm{d}}t} \, \Leftrightarrow 80 = 4{v_0} + ( - \frac{5}{4}{t^2} + {v_0}t + 10t)\left| \begin{array}{l}k\\4\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \)

\(80 = 4{v_0} - \frac{5}{4}({k^2} - 4) + {v_0}\left( {k - 4} \right) + 10\left( {k - 4} \right)\,\, \Leftrightarrow 80 = 4{v_0} - \frac{5}{4}\left( {\frac{2}{5}{v_0}} \right)\left( {\frac{2}{5}{v_0} + 8} \right) + {v_0}.\frac{2}{5}{v_0} + 10.\frac{2}{5}{v_0}\)

\( \Leftrightarrow 80 = 4{v_0} - \frac{{v_0^2}}{5} - 4{v_0} + \frac{{2v_0^2}}{5} + 4{v_0} \Leftrightarrow \frac{{v_0^2}}{5} + 4{v_0} - 80 = 0 \Leftrightarrow v_0^2 + 10{v_0} - 200 = 0 \Leftrightarrow {v_0} = 10\)

Vậy \({v_0} > 8\,\left( {m/s} \right)\).

a) Đúng. Quãng đường Flycam thứ nhất đi được sau 2 phút là \(AM = \sqrt {100 + 100 + 25}  = 15\)

b) Sai. Sau 5 phút Flycam thứ hai đi được \(\frac{5}{2}BN = \frac{5}{2}\sqrt {144 + 400 + 81}  = 62,5\).

c) Đúng. Vị trí của Flycam thứ nhất sau thời gian t là \(P\left( {{x_p};{y_p};{z_p}} \right)\)

với \(\overrightarrow {AP}  = \frac{t}{2}\overrightarrow {AM}  = \frac{t}{2}\left( { - 10; - 10;5} \right) = \left( { - 5t; - 5t;\frac{{5t}}{2}} \right)\), suy ra \(P = \left( { - 5t + 5; - 5t;\frac{{5t}}{2} + 1} \right)\)

c) Sai. Vị trí của Flycam thứ hai sau thời gian t là \(Q\left( {{x_Q};{y_Q};{z_Q}} \right)\)

với \(\overrightarrow {BQ}  = \frac{t}{2}\overrightarrow {BN}  = \frac{t}{2}\left( { - 12;20;9} \right) = \left( { - 6t;10t;\frac{{9t}}{2}} \right)\) suy ra \(Q\left( { - 6t;10t - 30;\frac{{9t}}{2} + 1} \right)\)

Khoảng cách giữa hai Flycam là \(PQ = \sqrt {{{\left( {t + 5} \right)}^2} + {{\left( {15t - 30} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}}  = \sqrt {230{t^2} - 890t + 925} \) ngắn nhất khi \(f\left( t \right) = 230{t^2} - 890t + 925\),\(0 \le t \le 20\) nhỏ nhất. Do \(\min f\left( t \right) \approx 64,2\)(m) nên d) sai.