Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, $u_2$ là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, $u_3$ là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, $u_n$ là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy t được dãy số vô hạn ($u_n$).

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.

a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của $u_n$ khi n tăng lên vô hạn.

b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km hay $384.{10}^9 \left(mm\right)$

Tính các giới hạn sau: $lim \left(\sqrt{n^2-n}-n\right)$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{\sqrt{9n^2 - n + 1}}{4n- 2}$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{3^n + 5.4^n}{4^n + 2^n}$

Tính các giới hạn sau: $lim \left(n^3 + 2n^2-n+1\right)$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{3n^2 + n - 5}{2n^2 + 1}$

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số $\left(u_n\right)$

b. Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn ${10}^{-6} g$.

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{6n - 1}{3n + 2}$