Bài 1: Giới hạn của dãy số

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = 1/n$.

Biểu diễn $\left(u_n\right)$ dưới dạng khai triển: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ....; \frac{1}{100}; ...$

Biểu diễn $\left(u_n\right)$ trên trục số (h.46):

a) Nhận xét xem khoảng cách từ $u_n$ tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.

b) Bắt đầu từ số hạng $u_n$ nào của dãy số thì khoảng cách từ $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, $u_2$ là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, $u_3$ là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, $u_n$ là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy t được dãy số vô hạn ($u_n$).

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.

a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của $u_n$ khi n tăng lên vô hạn.

b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km hay $384.{10}^9 \left(mm\right)$

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số $\left(u_n\right)$

b. Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn ${10}^{-6} g$.

Biết dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left|u_n - 1\right| <\frac{1}{3}$ với mọi n. Chứng minh rằng: $lim u_n = 1$.

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{6n - 1}{3n + 2}$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{3n^2 + n - 5}{2n^2 + 1}$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{3^n + 5.4^n}{4^n + 2^n}$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{\sqrt{9n^2 - n + 1}}{4n- 2}$

 Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi $u_n$ là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính $u_1, u_2, u_3 và u_n$

b. Tính lim $S_n$ với $S_n = u_1 + u_2 + u_3 +\dots + u_n$

Tính tổng:  $S = -1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{{10}^2} + ... + \frac{{\left(-1\right)}^n}{{10}^{n-1}} + ...$

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $a = 1,020 202\dots$ (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Tính các giới hạn sau: $lim \left(n^3 + 2n^2-n+1\right)$

Tính các giới hạn sau: $lim \left(-n^2 + 5n - 2\right)$

Tính các giới hạn sau: $lim \left(\sqrt{n^2-n}-n\right)$

Tính các giới hạn sau: $lim \left(\sqrt{n^2-n}+n\right)$

Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ Biết lim $u_n = 3$ Tính giới hạn: $lim \frac{3u_n-1}{u_n + 1}$

Cho dãy số $\left(v_n\right)$. Biết $lim v_n = + \infty$. Tính các giới hạn: $lim \frac{v_n + 2}{{v_n}^2 - 1}$