Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): $“3n < n + 100”$ và Q(n): $"2n > n"$ với $n \in N*$.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Chứng minh rằng với $n \in N*$ thì $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Cho hai số $3^n$ và 8n với $n \in N*$.

a) So sánh $3^n$ và 8n khi $n = 1, 2, 3, 4, 5.$

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Chứng minh rằng với $n \in N*$, ta có đẳng thức: $2 + 5 + 8 + ... + 3n-1 = \frac{n\left(3n+1\right)}{2}$

Chứng minh rằng với $n \in N*$, ta có đẳng thức: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} =\frac{2^n-1}{2^n}$

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức: $1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Chứng minh rằng với $n \in N*: n^3 + 3n^2 + 5n$ chia hết cho 3

Chứng minh rằng với $n \in N*: 4^n + 15n – 1$ chia hết cho 9

Chứng minh rằng với $n \in N*: n^3 + 11n$ chia hết cho 6.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$, ta có bất đẳng thức: $3^n > 3n + 1$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$, ta có các bất đẳng thức: $2^{n+1} > 2n + 3$

cho tổng $S_n = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n\left(n+1\right)}$ với $n\in N*$

a.Tính S1, S2, S3

b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $n(n-3)/2$