Bài 3: Hàm số liên tục

Cho hai hàm số $f\left(x\right) = x^2$ và có $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}-x^2 + 2 nếu x\le 1\\ 2 nếu -1<x<1\\ -x^2 + 2 nếu x\ge 1\end{array}\right.$ đồ thị như hình 55 

a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại $x = 1$ và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi $x \to 1$;

b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ $x = 1$.

Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn $1 < a < b < 2$, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(a; b)$.

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=x^3+2x-1$ tại $x_0=3$.

a) Xét tính liên tục của hàm số $y = g\left(x\right)$ tại $x_0 = 2$, biết: $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-8}{x-2} nếu x\ne 2\\ 5 nếu x=2\end{array}\right.$

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$.

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}3x + 2 nếu x<-1\\ x^2-1 nếu x\ge -1\end{array}\right.$

a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.

Cho các hàm số $f\left(x\right) = \frac{x + 1}{x^2 + x - 6}$ và $g\left(x\right) = \tan \left(x\right) + \sin \left(x\right)$

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

Ý kiến sau đúng hay sai?

"Nếu hàm số $y = f\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$ và hàm số $y = g\left(x\right)$ không liên tục tại $x_0$, thì $y = f\left(x\right) + g\left(x\right)$ là một hàm số không liên tục tại $x_0$".

Chứng minh rằng phương trình: $2x^3 – 6x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm

Chứng minh rằng phương trình: $\cos x = x$ có nghiệm