Bài 2: Giới hạn của hàm số

Xét hàm số $f\left(x\right) = \frac{2x^2-2x}{x - 1}$

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số $x_n, x_n \to 1$ như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

$f\left(x_1\right), f\left(x_2\right),\dots , f\left(x_n\right), \dots$

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là $f\left(x_n\right)$.

a) Chứng minh rằng $f\left(x_n\right) = 2xn = (2n + 2)/n$.

b) Tìm giới hạn của dãy số $f\left(x_n\right)$.

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì$x_n, x_n \ne 1$ và $x_n \to 1$, ta luôn có $f\left(x_n\right) \to 2$.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số $f\left(x\right) = \frac{2x^2-2x}{x - 1}$ có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Trong biểu thức (1) xác định hàm số $y = f\left(x\right)$ ở Ví dụ 4, cần thay 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x → 1?

Cho hàm số $f\left(x\right) = 1/(x-2)$ có đồ thị như ở Hình 52

Quan sát đồ thị và cho biết:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 4}{\lim } \frac{x+1}{3x - 2}$

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{2 - 5x^2}{x^2 + 3}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -3}{\lim } \frac{x^2-1}{x + 1}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -2}{\lim } \frac{4-x^2}{x +2}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 6}{\lim } = \frac{\sqrt{x+3} - 3}{x - 6}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{2x - 6}{4-x}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{17}{x^2 + 1}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{-2x^2 + x - 1}{3 + x}$

Tìm các giới hạn sau $\underset{x\to 2}{\lim } \frac{3x - 5}{{\left(x - 2\right)}^2}$

Tìm các giới hạn sau $\underset{x\to 1^{-}}{\lim } \frac{2x - 7}{x - 1}$

Tìm các giới hạn sau $\underset{x\to 1^{+}}{\lim } \frac{2x - 7}{x -1}$

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{x + 2}{x^2 - 9}$ có đồ thị như trên hình 53.

a. Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số cho khi:

$x \to - \infty ,x \to 3^{-},x \to -3^{+}$

b. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính (hình dưới).

Tính: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \left(x^4 - x^2 +x - 1\right)$

Tính: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \left(-2x^3 + 3x^2 - 5\right)$

Tính: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \sqrt{x^2 - 2x + 5}$

Tính: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{5 - 2x}$