Bài tập Ôn tập cuối năm

Cho hàm số $y = \cos 2x$.

a) Chứng minh rằng cos $2\left(x + k\pi \right) = \cos 2x$ với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số $y = \cos 2x$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x = \pi /3$.

c) Tìm tập xác định của hàm số : $z = \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{1 + {\cos }^{2}2x}}$

Giải các phương trình: $2\sin \frac{x}{2}{\cos }^{2}x - 2\sin \frac{x}{2}{\sin }^{2}x = {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

Giải các phương trình: $3\cos x + 4\sin x = 5$

Giải các phương trình: $\sin x + \cos x = 1 + \sin x.\cos x$

Giải các phương trình: $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x \left(x\in \left[\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi }\right]\right)$

Giải các phương trình: $\left(\cos \frac{x}{4} - 3\sin x\right)\sin x + \left(1 + \sin \frac{x}{4} - 3\cos x\right)\cos x = 0$

Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:

a) Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ?

b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ?

Tìm số hạng không chứa a trong khai triển của nhị thức: ${\left(\frac{1}{a^3}+a^2\right)}^{10}$

 Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một tổ gồm có 6 nam và 4 nữ. Tính xác xuất sao cho:

a) Cả 3 học sinh đều là nam.

b) Có ít nhất một nam.

Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác xuất sao cho:

a) A và B đứng liền nhau;

b) Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và một người kia đứng ở vị trí cuối cùng.

Tìm một cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275.

Cho biết một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ 2 còn giữa nguyên số hạng thứ 3 thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng năm số hạng đầu của cấp số nhân đó .

Tính các giới hạn: $lim \frac{\left(n+1\right){\left(3-2n\right)}^2}{n^3 + 1}$

Tính các giới hạn: $lim \left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 1} + ... + \frac{n-1}{n^2 + 1}\right)$

Tính các giới hạn: $lim \frac{\sqrt{4n^2 + 1} + n}{2n + 1}$

Tính các giới hạn: $lim \sqrt{n}\left(\sqrt{n - 1} - \sqrt{n}\right)$

Chứng minh rằng hàm số $y = \cos x$ không có giới hạn khi $x \to + \infty .$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -2}{\lim } \frac{6-3x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x - \sqrt{3x - 2}}{x^2 - 4}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim } \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim } \left(x + x^2 + ... + x^n - \frac{n}{1 - x}\right)$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{2x - 1}{x + 3}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \frac{x + \sqrt{4x^2 - 1}}{2 - 3x}$

Tính các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \left(-2x^3 + x^2 - 3x + 1\right)$

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: $\sin x = x – 1$.

Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng $\left(-1; 3\right)$: $x^4-3x^3+x-1=0$.

Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \frac{1}{{\cos }^2 3x}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \frac{\cos \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^{2 } + 1}}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \left(2 - x^2\right).\cos x + 2x.\sin x$

Tính đạo hàm của các hàm số sau: $y = \frac{\sin x - x.\cos x}{\cos x + x.\sin x}$

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: $y = \frac{1}{x + 1}$

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: $y = \frac{1}{x\left(1-x\right)}$

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: $y = \sin ax$

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: $y = {\sin }^2 x$

Cho hàm số $y = x^3 + b{x}^2 + cx + d$. Hãy xác định các số b, c, d biết rằng đồ thị (C) của hàm số $y = f\left(x\right)$ đi qua các điểm $\left(-1;-3\right); \left(1;-1\right)$ và $f\text{'}\left(\frac{1}{3}\right) = 0$

Cho hàm số $f(\left(x\right)=x^3+b{x}^2+cx+d$ ,$\left(C\right) g\left(x\right)=x^2-3x+1$

Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x = -1$.

b) Giải phương trình $f\text{'}\left(\sin x\right) = 0$.

c) tính $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{f\text{'}\text{'}\left(\sin 5x\right) + 1}{g\text{'}\left(\sin 3x\right) + 3}$