Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là $s = t^2$.

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng $\left[t; t_o\right]$ với $t_o = 3$ và $t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99$.

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần $t_o = 3$.

Cho hàm số $y = x^2$. Hãy tính $y\text{'}\left(x_o\right)$ bằng định nghĩa.

a) Vẽ đồ thị của hàm số $f\left(x\right) = x^2/2$.

b) Tính f’(1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1; 1/2) và có hệ số góc bằng f’(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

 Viết phương trình đường thẳng đi qua $M_o\left(x_o; y_o\right)$ và có hệ số góc λ

Cho hàm số $y = -x^2 + 3x – 2$. Tính y’(2) bằng định nghĩa.

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) $f\left(x\right) = x^2$ tại điểm x bất kì;

b) $g\left(x\right) = 1/x$ tại điểm bất kì $x \ne 0$

Tìm số gia của hàm số $f\left(x\right) = x^3$, biết rằng:

a.$x_0 = 1; \Delta x = 1$;

b.$x_0 = 1; \Delta x = -0,1$;

Tính $\Delta y$ và $\frac{∆y}{∆x}$ của các hàm số sau theo x và $\Delta x$: y = 2x - 5

Tính $\Delta y$ và $\frac{∆y}{∆x}$ của các hàm số sau theo x và $\Delta x$: $y = x^2 - 1$

Tính $\Delta y$ và $\frac{∆y}{∆x}$ của các hàm số sau theo x và $\Delta x$: $y = 2x^3$

Tính $\Delta y$ và $\frac{∆y}{∆x}$ của các hàm số sau theo x và $\Delta x$: $y = \frac{1}{x}$

Tính ( bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra: $y = x^2 + x$ tại $x_0 = 1$

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra: $y = \frac{1}{x}$ tại $x_0 = 2$

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra: $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ tại $x_0 = 0$

Chứng minh rằng hàm số:

$f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2 nếu x\ge 0\\ -x^2 nếu x < 0\end{array}\right.$

Không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x = 2$.

Viết phương trình tiếp tuyến đường cong $y=x^3$.

a. Tại điểm $\left(-1;1\right)$;

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol $y = \frac{1}{x}$

a) Tại điểm $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$ ;

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\frac{-1}{4}$

Một vật rơi tự do theo phương trình $s = 1/2 g{t}^2$, trong đó $g\approx 9,8m/s^2$ là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t $\left(t = 5s\right)$ đến$t + \Delta t$, trong các trường hợp $\Delta t=0,1s$; $\Delta t=0,05s$; $\Delta t=0,001s$.

b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 5s$.