Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\sqrt{3}\text{tanx}+1=0$

$\iff \text{tanx}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \text{x}=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\text{x}=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

3cos2x - 5 cos⁡ x + 2 = 0

Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - 5t + 2 = 0(1)

Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1

Phương trình (1)có hai nghiệm là: 

Ta có:

cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0

⇔ x = k2π, k ∈ Z

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=k2\pi ,x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

3tan2 x - 2√3 tan⁡x + 3 = 0

Đặt tan⁡x = t

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - 2√3 t + 3 = 0(1)

Δ = (-2√3)2 - 4.3.3 = -24 < 0

Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α + cos2α = 1

1 + tan2α = 1/(cos2α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

1 + cot2α = 1/(sin2α); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z

b) Công thức cộng:

cos⁡(a - b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b - sin⁡a sin⁡b

sin⁡(a - b) = sin⁡a cos⁡b - cos⁡a sin⁡b

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

c) Công thức nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b) ]

sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) - cos⁡(a + b) ]

sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡(a - b) + sin⁡(a + b) ]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

3cos²6x + 8sin3x.cos3x – 4 = 0

$\iff$3(1 – sin²6x) + 4sin6x – 4 = 0

$\iff$- 3sin²6x + 4sin6x – 1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{s}\text{in6x}=1\\ \mathrm{s}\text{in6x}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{x}=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\\ \text{x}=\frac{1}{6}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3}\\ \text{x}=-\frac{1}{5}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$$\begin{gathered} \text{x}=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}, \\ \text{x}=\frac{1}{6}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3}, \\ \text{x}=-\frac{1}{5}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

a) √2 cos(x - π/4)

= √2.(cosx.cos π/4 + sinx.sin π/4)

= √2.(√2/2.cosx + √2/2.sinx)

= √2.√2/2.cosx + √2.√2/2.sinx

= cosx + sinx (đpcm)

b) √2.sin(x - π/4)

= √2.(sinx.cos π/4 - sin π/4.cosx )

= √2.(√2/2.sinx - √2/2.cosx )

= √2.√2/2.sinx - √2.√2/2.cosx

= sinx – cosx (đpcm).

$\sqrt{3}\sin 3x-cos3x=\sqrt{2}$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff cos\frac{\pi }{6}\sin 3x-\sin \frac{\pi }{6}cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \\ 3x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3},x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$