Đề kiểm tra Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất (có lời giải) - Đề 2

Mệnh đề sai là: hai biến cố xung khắc là hai biến cố đối nhau.

Xét các mệnh đề còn lại:

Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc ® là mệnh đề đúng, vì \(A \cap \overline {A\,}  = \emptyset \).

\(A\) và \(\Omega \backslash A\) là hai biến cố xung khắc ® đúng.

Hai biến cố \(A\) và \(\overline A \) không độc lập, vì nếu \(A\) xảy ra thì xác suất xảy ra \(\overline A \) bằng 0 và ngược lại nếu \(A\) không xảy ra thì xác suất xảy ra \(\overline A \) bằng 1.

Hoặc: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {A\,\overline A } \right) = P\left( \emptyset  \right) = 0\\P\left( A \right).P\left( {\overline A } \right) = P\left( A \right).\left[ {1 - P\left( A \right)} \right]\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\,P\left( {A\,\overline A } \right) \ne P\left( A \right).P\left( {\overline A } \right)\) khi \(0 < P\left( A \right) < 1\).

Do đó biến cố \(A\) và \(\overline A \) không độc lập.

Vậy mệnh đề sai là: hai biến cố \(A\) và \(\overline A \) độc lập.

Do \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau nên \[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,4.0,3 = 0,12\].

Vì \[\bar A\] là biến cố đối của \(A\) nên \[P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,3\]. Do \[\bar A\] và \(B\) độc lập nên \[P\left( {\bar AB} \right) = P\left( {\bar A} \right).P\left( B \right) = 0,3.0,2 = 0,06\].

Tập hợp mô tả các biến cố: \[A = \left\{ {2\,;\;4\,;\;6} \right\}\], \[B = \left\{ {3\,;\;6} \right\}\].

Từ đó suy ra \(AB = \left\{ 6 \right\}\).

Tập hợp mô tả các biến cố: \(A = \left\{ {\left( {1\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;2} \right)} \right\}\), \(B = \left\{ {\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;2} \right)} \right\}\).

Suy ra \(AB = \left\{ {\left( {2\,;\;2} \right)} \right\}\).

Tập hợp mô tả các biến cố: \(A = \left\{ {\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;2} \right)} \right\}\),

\(C = \left\{ {\left( {1\,;\;6} \right)\,,\;\left( {6\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;5} \right)\,,\;\left( {5\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;2} \right)\,,\;\left( {2\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;1} \right)} \right\}\).

Từ đó suy ra \(AC = \left\{ {\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)} \right\}\).

Không gian mẫu của phép thử là

\[\Omega  = \left\{ {\left( {S,1} \right),\left( {S,2} \right),\left( {S,3} \right),\left( {S,4} \right),\left( {S,5} \right),\left( {S,6} \right),\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,4} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}\].

Tập hợp mô tả các biến cố: \(A = \left\{ {\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,4} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}\), \(B = \left\{ {\left( {S,4} \right),\left( {N,4} \right)} \right\}\),

\(\overline B  = \left\{ {\left( {S,1} \right),\left( {S,2} \right),\left( {S,3} \right),\left( {S,5} \right),\left( {S,6} \right),\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}\).

Từ đó suy ra \(A\overline B  = \left\{ {\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\overline B \) là \(P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{5}{{12}}\).