Nhà trường muốn chọn một đội văn nghệ có đủ cả nam và nữ gồm 12 em đi biểu diễn từ một nhóm học sinh gồm 10 nam sinh và 8 nữ sinh. Tính xác xuất để đội văn nghệ được chọn có:

a) Đúng 6 bạn nam.

b) Ít nhất 6 bạn nữ.

Gọi \(A\) là biến cố "người thứ nhất câu được cá". \(B\) là biến cố "người thứ hai câu được cá". \(C\) là biến cố "người thứ ba câu được cá".

Ta có: \(P(A) = 0,5;P(B) = 0,4;P(C) = 0,3\).

Suy ra \(P(\bar A) = 0,5;P(\bar B) = 0,6;P(\bar C) = 0,7\).

a) Gọi \(X\) là biến cố “Có đúng 1 người câu được cá”, sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1: Người thứ nhất câu được cá, người thứ hai và người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ hai câu được cá, người thứ nhất và người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 3: Người thứ ba câu được cá, người thứ nhất và người thứ hai không câu được cá.

Vì 3 biến cố này xung khắc nên có:

\(\begin{array}{l}P(X) = P(A \cap \bar B \cap \bar C) + P(\bar A \cap B \cap \bar C) + P(\bar A \cap \bar B \cap C)\\P(X) = P(A)P(\bar B)P(\bar C) + P(\bar A)P(B)P(\bar C) + P(\bar A)P(\bar B)P(C)\\P(X) = 0,5 \times 0,6 \times 0,7 + 0,5 \times 0,4 \times 0,7 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 = 0,44.\end{array}\)

b) Gọi \(Y\) là biến cố "Có đúng 2 người câu được cá”, sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1 : Người thứ nhất và người thứ hai câu được cá, người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ hai và người thứ ba câu được cá, người thứ nhất không câu được cá.

Biến cố 3 : Người người thứ nhất và thứ ba câu được cá, người thứ hai không câu được cá.

Vì 3 biến cố này xung khắc nên có:

\(\begin{array}{l}P(Y) = P(A \cap B \cap \bar C) + P(\bar A \cap B \cap C) + P(A \cap \bar B \cap C)\\P(Y) = P(A)P(B)P(\bar C) + P(\bar A)P(B)P(C) + P(A)P(\bar B)P(C)\\P(Y) = 0,5 \times 0,4 \times 0,7 + 0,5 \times 0,4 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 = 0,29.\end{array}\)

c) Gọi \(Z\) là biến cố "Người thứ 3 luôn luôn câu được cá", sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1 : Cả ba người luôn câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ nhất câu được cá, người thứ hai không câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Biến cố 3: Người người thứ nhất không câu được cá, người thứ hai câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Biến cố 4: Người người thứ nhất và thứ hai không câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Vì 4 biến cố này xung khắc nên có:

\(\begin{array}{l}P(Z) = P(A \cap B \cap C) + P(A \cap \bar B \cap C) + P(\bar A \cap B \cap C) + P(\bar A \cap \bar B \cap C)\\P(Z) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(\bar B)P(C) + P(\bar A)P(B)P(C) + P(\bar A)P(\bar B)P(C)\\P(Z) = 0,5 \times 0,4 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 + 0,5 \times 0,4 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 = 0,3.\end{array}\)

d) Gọi \(T\) là biến cố "Có ít nhất 1 người câu được cá", suy ra \(\bar T\) là biến cố "Cả 3 người không câu được cá". \(P(T) = 1 - P(\bar T) = 1 - 0,5 \times 0,6 \times 0,7 = 0,79\).

a) Gọi \(A\) là biến cố “Cả hai lần bắn đều trúng đích". Vì kết quả các lần bắn là độc lập với nhau suy ra: \(P(A) = 0,8 \times 0,7 = 0,56\).

b) Gọi \(B\) là biến cố: "Ít nhất 1 lần bắn trúng đích".

\(P(B) = 0,8 \times 0,3 + 0,2 \times 0,7 + 0,8 \times 0,7 = 0,94.{\rm{ }}\)