Một xạ thủ bắn lần lượt 2 viên đạn vào một bia. Xác suất trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là 0,8 và 0,7 . Biết rằng kết quả các lần bắn là độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) "Cả hai lần bắn đều trúng đích".

b) "Ít nhất 1 lần bắn trúng đích".

Gọi \(A\) là biến cố "người thứ nhất câu được cá". \(B\) là biến cố "người thứ hai câu được cá". \(C\) là biến cố "người thứ ba câu được cá".

Ta có: \(P(A) = 0,5;P(B) = 0,4;P(C) = 0,3\).

Suy ra \(P(\bar A) = 0,5;P(\bar B) = 0,6;P(\bar C) = 0,7\).

a) Gọi \(X\) là biến cố “Có đúng 1 người câu được cá”, sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1: Người thứ nhất câu được cá, người thứ hai và người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ hai câu được cá, người thứ nhất và người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 3: Người thứ ba câu được cá, người thứ nhất và người thứ hai không câu được cá.

Vì 3 biến cố này xung khắc nên có:

\(\begin{array}{l}P(X) = P(A \cap \bar B \cap \bar C) + P(\bar A \cap B \cap \bar C) + P(\bar A \cap \bar B \cap C)\\P(X) = P(A)P(\bar B)P(\bar C) + P(\bar A)P(B)P(\bar C) + P(\bar A)P(\bar B)P(C)\\P(X) = 0,5 \times 0,6 \times 0,7 + 0,5 \times 0,4 \times 0,7 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 = 0,44.\end{array}\)

b) Gọi \(Y\) là biến cố "Có đúng 2 người câu được cá”, sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1 : Người thứ nhất và người thứ hai câu được cá, người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ hai và người thứ ba câu được cá, người thứ nhất không câu được cá.

Biến cố 3 : Người người thứ nhất và thứ ba câu được cá, người thứ hai không câu được cá.

Vì 3 biến cố này xung khắc nên có:

\(\begin{array}{l}P(Y) = P(A \cap B \cap \bar C) + P(\bar A \cap B \cap C) + P(A \cap \bar B \cap C)\\P(Y) = P(A)P(B)P(\bar C) + P(\bar A)P(B)P(C) + P(A)P(\bar B)P(C)\\P(Y) = 0,5 \times 0,4 \times 0,7 + 0,5 \times 0,4 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 = 0,29.\end{array}\)

c) Gọi \(Z\) là biến cố "Người thứ 3 luôn luôn câu được cá", sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1 : Cả ba người luôn câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ nhất câu được cá, người thứ hai không câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Biến cố 3: Người người thứ nhất không câu được cá, người thứ hai câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Biến cố 4: Người người thứ nhất và thứ hai không câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Vì 4 biến cố này xung khắc nên có:

\(\begin{array}{l}P(Z) = P(A \cap B \cap C) + P(A \cap \bar B \cap C) + P(\bar A \cap B \cap C) + P(\bar A \cap \bar B \cap C)\\P(Z) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(\bar B)P(C) + P(\bar A)P(B)P(C) + P(\bar A)P(\bar B)P(C)\\P(Z) = 0,5 \times 0,4 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 + 0,5 \times 0,4 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 \times 0,3 = 0,3.\end{array}\)

d) Gọi \(T\) là biến cố "Có ít nhất 1 người câu được cá", suy ra \(\bar T\) là biến cố "Cả 3 người không câu được cá". \(P(T) = 1 - P(\bar T) = 1 - 0,5 \times 0,6 \times 0,7 = 0,79\).

Không gian mẫu \[\Omega  = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;2} \right)\,,\;\left( {1\,;\;3} \right)\,,\;\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {1\,;\;5} \right)\\\left( {2\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;2} \right)\,,\;\left( {2\,;\;3} \right)\,,\;\left( {2\,;\;4} \right)\,,\;\left( {2\,;\;5} \right)\\\left( {3\,;\;1} \right)\,,\;\left( {3\,;\;2} \right)\,,\;\left( {3\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;4} \right)\,,\;\left( {3\,;\;5} \right)\\\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {4\,;\;2} \right)\,,\;\left( {4\,;\;3} \right)\,,\;\left( {4\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;5} \right)\end{array} \right\}\], suy ra \(n\left( \Omega  \right) = 4.5 = 20\).

Ta có \(A\) là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ bằng 6” \( \Rightarrow \,\,\,A = \left\{ {\left( {1\,;\;5} \right)\,,\;\left( {2\,;\;4} \right)\,,\;\left( {3\,;\;3} \right)\,,\;\left( {4\,;\;2} \right)} \right\}\).

\(B\) là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ là số chẵn”.

Suy ra tập hợp mô tả biến cố \(AB\) là \(AB = \left\{ {\left( {2\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;2} \right)} \right\}\), \(n\left( {AB} \right) = 2\).

Do đó \[P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\].