Biết dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left|u_n - 1\right| <\frac{1}{3}$ với mọi n. Chứng minh rằng: $lim u_n = 1$.

Tính các giới hạn sau: $lim \left(\sqrt{n^2-n}-n\right)$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{\sqrt{9n^2 - n + 1}}{4n- 2}$

Tính các giới hạn sau: $lim \left(n^3 + 2n^2-n+1\right)$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{3^n + 5.4^n}{4^n + 2^n}$

Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{3n^2 + n - 5}{2n^2 + 1}$

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số $\left(u_n\right)$

b. Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn ${10}^{-6} g$.

 Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi $u_n$ là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính $u_1, u_2, u_3 và u_n$

b. Tính lim $S_n$ với $S_n = u_1 + u_2 + u_3 +\dots + u_n$