Giải phương trình cotx - tanx + 4sin2x = 2/sin2x

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Phương trình đã cho trở thành:

\[2\tan x - 3\frac{1}{{\tan x}} - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\\\tan x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan \,\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2} + k\pi \\x = \arctan \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có nghiệm là:

\[x = \arctan \,\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z};\]

\[x = \arctan \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

4sinx.cosx.cos2x = -1

⇔ 2sin2x.cos2x = -1

⇔ sin4x = -1