Giải phương trình $x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1.$

Cho biểu thức $Q=\frac{\left(x+27\right).P}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$, với $x\ge 0, x\ne 1, x\ne 4$. Chứng minh $Q\ge 6.$ với biểu thức P ở câu 1

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\left(\text{1}\right)\\ \sqrt{x^2-x{y}^2+1}+3\sqrt{x-1}=x{y}^2\left(\text{2}\right).\end{array}\right.$

Chứng minh biểu thức $S=n^3{\left(n+2\right)}^2+\left(n+1\right)\left(n^3-5n+1\right)-2n-1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Cho tam giác ABC có $\stackrel{⏜}{BAC}={60}^0, AC=b, AB=c \left(b>c\right)$. Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.

c)     Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c.

Cho ba số a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 và và $\left|a\right|\le 1,\left|b\right|\le 1,\left|c\right|\le 1.$ Chứng minh rằng $a^4+b^6+c^8\le 2.$

Cho tam giác ABC có $\stackrel{⏜}{BAC}={60}^0, AC=b, AB=c \left(b>c\right)$. Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M (E thuộc cung lớn BC). Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC.

a)     Chứng minh các tứ giác AIEJ, CMJE nội tiếp và $EA.EM=EC.EI$.