19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 1)

Đồ  thị hàm số $y=2x+m$ đi qua điểm $K(2;3)\iff 3=4+m\iff m=-1$. Vậy  m= -1.

Ta có $B=\left[\frac{\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\right].\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)} \\ =\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-1}=\frac{2\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}-1} \end{gathered}$$   

Vì $x\ge 0$ nên $2\sqrt{x}+3>0$, do đó B<0 khi $2\sqrt{x}-1<0\iff x<\frac{1}{4}$.

Mà $x\ge 0;x\ne 1$ và $x\ne \frac{1}{4}$ nên ta được kết quả $0\le x<\frac{1}{4}$.

a. + Với $m=-\frac{1}{2}$  phương trình (1) trở thành $x^2-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.$.

+ Vậy khi $m=-\frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.

b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 

                           $\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)>0\\ x_1+x_2=2m+5>0\\ x_1.x_2=2m+1>0\end{array}\right.$

+ Ta có $\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)=4m^2+12m+21={\left(2m+3\right)}^2+12>0,\forall m\in R$

+ Giải được điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ (*).

+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi $P^2$ nhỏ nhất.

+ Ta có $$\begin{gathered} P^2=\left(x_1+x_2\right)-2\sqrt{x_1{x}_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1} \\ ={\left(\sqrt{2m+1}-1\right)}^2+3\ge 3(\forall m>-\frac{1}{2}) \\ \Rightarrow P\ge \sqrt{3}(\forall m>-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$.

và $P=\sqrt{3}$ khi m= 0 (thoả mãn (*)).

+ Vậy giá trị nhỏ nhất $P=\sqrt{3}$ khi m= 0.

+ Gọi số học sinh của lớp 9A là x học sinh ($x\in {\mathbb{N}}^{*}$)

+ Gọi số học sinh của lớp 9B là y học sinh ($y\in {\mathbb{N}}^{*}$).

+ Ta có học sinh lớp 9A ủng hộ: 6x quyển sách giáo khoa và 3x quyển sách tham khảo. 

+ Ta có học sinh lớp 9B ủng hộ: 5y quyển sách giáo khoa và 4y quyển sách tham khảo. 

+ Vì tổng số sách học sinh hai lớp ủng hộ là 738 quyển, nên ta có phương trình: $(6x+3x)+(5y+4y)=738$  hay

$9x+9y=738\iff x+y=82$  (1).

+ Số sách giáo khoa học sinh hai lớp ủng hộ là 6x+5y (quyển)

+ Số sách tham khảo học sinh hai lớp ủng hộ là 3x+4y (quyển)

+ Vì số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình: $(6x+5y)-(3x+4y)=166\iff 3x+y=166$   (2).

+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=82\\ 3x+y=166\end{array}\right.$

+ Giải hệ trên được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=42\\ y=40\end{array}\right.$ (thoả mãn điều kiện)

+ Vậy lớp 9A có 42 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh

1. + Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{AKB}={90}^0$.

Nên E và K cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

+ Vậy tứ giác ABEK nội tiếp trong một đường tròn.

2. + Vì $AE\perp BC;BK\perp AC\mathit{\Rightarrow }\widehat{\mathit{A}\mathit{E}\mathit{C}}=\widehat{\mathit{B}\mathit{K}\mathit{C}}={90}^{\mathit{0}}$

+ Chỉ ra hai tam giác AEC và BKC đồng dạng (g-g).

Suy ra $\frac{CE}{CK}=\frac{CA}{CB}$. Vậy $CE.CB=CK.CA$.

3. + Vẽ tiếp tuyến t't của đường tròn (C) tại điểm C,  ta có: $\widehat{ACt}=\widehat{ABC}$.

+ Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{EKC}$ (cùng bù với $\widehat{EKA}$), suy ra $\widehat{ACt}=\widehat{EKC},$ do đó EK song song với t't .

+ Mặt khác $OC\perp t\text{'}t\Rightarrow OC\perp EK$

+ Ta có  $\widehat{OCA}+\widehat{CKE}={90}^0$ (do $OC\perp EK$) và $\widehat{BKE}+\widehat{CKE}={90}^0$ (vì $BK\perp AC$) suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{BKE}$    (1).

+ Lại có: $\widehat{BKE}=\widehat{BAE}$ (do tứ giác ABEK nội tiếp )    (2).

+ Từ (1) và (2) ta có $\widehat{OCA}=\widehat{BAE}$.

4. + Gọi H’ là giao điểm thứ hai của AE và đường tròn (C); I là điểm đối xứng với O qua BC.

Có $\widehat{BHH\text{'}}=\widehat{BCA}=\widehat{BH\text{'}H},$ suy ra tam giác BHH' cân tại B nên H và H’ đối xứng nhau qua BC.

+ Vì O và I đối xứng nhau qua BC, do đó $IH=OH\text{'}=R$.

+ Do O cố định, BC cố định nên I cố định. Từ đó có H thuộc đường tròn (T) có tâm I, bán kính R=3 cm.

+ Vậy đường tròn (T) có tâm là điểm I đối xứng với O qua BC và bán kính $r=R=3cm.$ 

Ta có

$$\begin{gathered} Q=2002\left(\frac{1}{a}+4a\right)+2017\left(\frac{1}{b}+b\right)-5012a-7518b \\ =2002\left(\frac{1}{a}+4a\right)+2017\left(\frac{1}{b}+b\right)-2506\left(2a+3b\right) \end{gathered}$$   

+ Vì a, b dương và $2a+3b\le 4\Rightarrow 0<2a+3b\le 4$ do đó

    $Q\ge \mathrm{2002.2.}\sqrt{\frac{1}{a}.4a}+\mathrm{2017.2.}\sqrt{\frac{1}{b}.b}-2506.4=2018$ với mọi a, b>0 và $2a+3b\le 4$, dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$ và b= 1.

+ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018  khi $a=\frac{1}{2}$ và b= 1..