19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 10)

Với $x \geq 0, x \neq 25$ thì $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 15} = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)}$

$= \frac{3 (\sqrt{x} - 5) + 20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} = \frac{3 \sqrt{x} - 15 + 20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$

(điều phải chứng minh)

Câu 3

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}$ với $x \geq 0, x \neq 25$
3) Tìm tất cả các giá trị của x để $A = B . |x - 4|$ .

Xem đáp án

Lời giải

Với $x \geq 0, x \neq 25$ Ta có: $A = B . |x - 4|$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5} . |x - 4| \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = |x - 4| (*)$

Nếu $x \geq 4, x \neq 25$ thì (*) trở thành : $\sqrt{x} + 2 = x - 4$

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} - 6 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $\sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Nếu $0 \leq x < 4$ thì (*) trở thành : $\sqrt{x} + 2 = 4 - x$

$\Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x=1 và x= 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện x>0

Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên vận tốc ô tô là x+10 (km/h).

Thời gian xe máy đi từ A đến B là $\frac{120}{x}$ (h)

Thời gian ô tô đi từ A đến B là $\frac{120}{x + 10}$ (h)

Xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút =3/5(h) nên ta có phương trình:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 10} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 120.5. (x + 10) - 120.5. x = 3 x . (x + 10) \Leftrightarrow 3 x^{2} + 30 x - 6000 = 0 \Leftrightarrow (x + 50) (x - 40) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 50 \\ x = 40 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được x= 40.

Vậy vận tốc của xe máy là 40 (km/h), vận tốc của ô tô là 50(km/h).

Câu 5

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 \sqrt{y - 1} = 5 \\ 4 \sqrt{x} - \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} .$

Xem đáp án

Lời giải

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + 2 \sqrt{y - 1} = 5 \\ 4 \sqrt{x} - \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} .$

Điều kiện: $x \geq 0; y \geq 1$

Đặt $\{\begin{cases} a = \sqrt{x} \\ b = \sqrt{y - 1} \end{cases} .$ Điều kiện $a; b \geq 0$ . Khi đó hệ phương trình ban đầu trở thành

$\{\begin{cases} a + 2 b = 5 \\ 4 a - b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 - 2 b \\ 4 (5 - 2 b) - b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 - 2 b \\ 20 - 8 b - b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 - 2 b \\ - 9 b = - 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$

Do đó: $\{\begin{cases} \sqrt{x} = 1 \\ \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y - 1 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 5 \end{cases} (t / m)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= (1;5)

Câu 6