19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 18)

$\begin{array}{l} P = \frac{a^{3} + b^{3}}{{(a + b)}^{3} {(a b)}^{3}} + \frac{3 (a^{2} + b^{2})}{{(a + b)}^{4} {(a b)}^{2}} + \frac{6 (a + b)}{{(a + b)}^{5} (a b)} \\ = \frac{a^{3} + b^{3}}{{(a + b)}^{3}} + \frac{3 (a^{2} + b^{2})}{{(a + b)}^{4}} + \frac{6 (a + b)}{{(a + b)}^{5}} \\ = \frac{a^{2} + b^{2} - 1}{{(a + b)}^{2}} + \frac{3 (a^{2} + b^{2})}{{(a + b)}^{4}} + \frac{6}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{(a^{2} + b^{2} - 1) {(a + b)}^{2} + 3 (a^{2} + b^{2}) + 6}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{(a^{2} + b^{2} - 1) (a^{2} + b^{2} + 2) + 3 (a^{2} + b^{2}) + 6}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2} + 4 (a^{2} + b^{2}) + 4}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2} + 2)}^{2}}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2} + 2 a b)}^{2}}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{[{(a + b)}^{2}]}^{2}}{{(a + b)}^{4}} \\ = 1 \end{array}$

Vậy P = 1, với ab = 1 , a+b ¹ 0.

Câu 2/4

Giải phương trình: $2 x^{2} + x + 3 = 3 x \sqrt{x + 3}$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: x ³ -3

Với điều kiện trên, phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 3 x \sqrt{x + 3} + {(\sqrt{x + 3})}^{2} = 0 \\ < = > 2 x^{2} - 2 x \sqrt{x + 3} + {(\sqrt{x + 3})}^{2} - x \sqrt{x + 3} = 0 \\ < = > 2 x (x - \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} (x - \sqrt{x - 3}) = 0 \\ < = > (x - \sqrt{x + 3}) (2 x - \sqrt{x + 3}) = 0 \\ < = > [\begin{array}{l} \sqrt{x + 3} = x (1) \\ \sqrt{x + 3} = 2 x (2) \end{array} \\ • (1) : \sqrt{x + 3} = x < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 3 = x^{2} \end{cases} < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ [\begin{array}{l} x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \\ x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \end{array} \end{cases} < = > x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \\ • (2) : \sqrt{x + 3} = 2 x < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 3 = 4 x^{2} \end{cases} < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{- 3}{4} \end{array} \end{cases} < = > x = 1 \end{array}$

So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S = \{1; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\}$

Câu 3/4

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:
a, Chứng minh BA.BC =2.BD. BE

Xem đáp án

Lời giải

a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE

· Ta có: DBA+ ABC = 90⁰ , EBM +ABC = 90⁰

Þ DBA =EBM (1)

· Ta có: DONA = DOME (c-g-c)

Þ EAN= MEO

Ta lại có: DAB +BAE+ EAN = 90⁰, và BEM +BAE +MEO = 90⁰

Þ DAB= BEM (2)

· Từ (1) và (2) suy ra DBDA đồng dạng DBME (g-g)

$\begin{array}{l} = > \frac{B D}{B M} = \frac{B A}{B E} = > D B . B E = B A . B M = \frac{B A . B C}{2} \\ = > 2 B D . B E = B A . B C \end{array}$

Câu 4/4

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:
b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC .

Xem đáp án

Lời giải

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD và CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

$\begin{array}{l} = > \frac{B D}{B A} = \frac{B M}{B E} = > Δ B D M ~ Δ B A E (c - g - c) \\ = > B M D = B E A \end{array}$

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD và AH .

DBCD có TH //BD $= > \frac{T H}{B D} = \frac{C T}{C D}$ (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD có TA //FD $= > \frac{T A}{F D} = \frac{C T}{C D}$ (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a +b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:
$P = \frac{1}{{(a + b)}^{3}} (\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}}) + \frac{3}{{(a + b)}^{4}} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{6}{{(a + b)}^{5}} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

Giải phương trình: $2 x^{2} + x + 3 = 3 x \sqrt{x + 3}$