Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:
b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD và CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

$\begin{array}{l} = > \frac{B D}{B A} = \frac{B M}{B E} = > Δ B D M ~ Δ B A E (c - g - c) \\ = > B M D = B E A \end{array}$

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD và AH .

DBCD có TH //BD $= > \frac{T H}{B D} = \frac{C T}{C D}$ (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD có TA //FD $= > \frac{T A}{F D} = \frac{C T}{C D}$ (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải phương trình: $2 x^{2} + x + 3 = 3 x \sqrt{x + 3}$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: x ³ -3

Với điều kiện trên, phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 3 x \sqrt{x + 3} + {(\sqrt{x + 3})}^{2} = 0 \\ < = > 2 x^{2} - 2 x \sqrt{x + 3} + {(\sqrt{x + 3})}^{2} - x \sqrt{x + 3} = 0 \\ < = > 2 x (x - \sqrt{x + 3}) - \sqrt{x + 3} (x - \sqrt{x - 3}) = 0 \\ < = > (x - \sqrt{x + 3}) (2 x - \sqrt{x + 3}) = 0 \\ < = > [\begin{array}{l} \sqrt{x + 3} = x (1) \\ \sqrt{x + 3} = 2 x (2) \end{array} \\ • (1) : \sqrt{x + 3} = x < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 3 = x^{2} \end{cases} < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ [\begin{array}{l} x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \\ x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \end{array} \end{cases} < = > x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \\ • (2) : \sqrt{x + 3} = 2 x < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 3 = 4 x^{2} \end{cases} < = > \{\begin{cases} x \geq 0 \\ [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{- 3}{4} \end{array} \end{cases} < = > x = 1 \end{array}$

So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S = \{1; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\}$

Câu 2

Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a +b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:
$P = \frac{1}{{(a + b)}^{3}} (\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}}) + \frac{3}{{(a + b)}^{4}} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) + \frac{6}{{(a + b)}^{5}} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

Xem đáp án

Lời giải

Với ab = 1 , a + b ¹ 0, ta có:

$\begin{array}{l} P = \frac{a^{3} + b^{3}}{{(a + b)}^{3} {(a b)}^{3}} + \frac{3 (a^{2} + b^{2})}{{(a + b)}^{4} {(a b)}^{2}} + \frac{6 (a + b)}{{(a + b)}^{5} (a b)} \\ = \frac{a^{3} + b^{3}}{{(a + b)}^{3}} + \frac{3 (a^{2} + b^{2})}{{(a + b)}^{4}} + \frac{6 (a + b)}{{(a + b)}^{5}} \\ = \frac{a^{2} + b^{2} - 1}{{(a + b)}^{2}} + \frac{3 (a^{2} + b^{2})}{{(a + b)}^{4}} + \frac{6}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{(a^{2} + b^{2} - 1) {(a + b)}^{2} + 3 (a^{2} + b^{2}) + 6}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{(a^{2} + b^{2} - 1) (a^{2} + b^{2} + 2) + 3 (a^{2} + b^{2}) + 6}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2} + 4 (a^{2} + b^{2}) + 4}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2} + 2)}^{2}}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{(a^{2} + b^{2} + 2 a b)}^{2}}{{(a + b)}^{4}} \\ = \frac{{[{(a + b)}^{2}]}^{2}}{{(a + b)}^{4}} \\ = 1 \end{array}$