Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O . Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D . Kẻ đường kính AE . Chứng minh rằng:

a, Chứng minh BA.BC =2.BD. BE

Điều kiện: x ³ -3

Với điều kiện trên, phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}2x^2-3x\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2=0\\ <=>2x^2-2x\sqrt{x+3}+{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2-x\sqrt{x+3}=0\\ <=>2x(x-\sqrt{x+3})-\sqrt{x+3}(x-\sqrt{x-3})=0\\ <=>(x-\sqrt{x+3})(2x-\sqrt{x+3})=0\\ <=>\left[\begin{array}{l}\sqrt{x+3}=x\left(1\right)\\ \sqrt{x+3}=2x\left(2\right)\end{array}\right.\\ •\left(1\right):\sqrt{x+3}=x<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+3=x^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.<=>x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ •\left(2\right):\sqrt{x+3}=2x<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+3=4x^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{-3}{4}\end{array}\right.\end{array}\right.<=>x=1\end{array}$

So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\left\{1;\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right\}$

Với ab = 1 , a + b ¹ 0, ta có:

$\begin{array}{l}P=\frac{a^3+b^3}{{(a+b)}^3{\left(ab\right)}^3}+\frac{3(a^2+b^2)}{{(a+b)}^4{\left(ab\right)}^2}+\frac{6(a+b)}{{(a+b)}^5\left(ab\right)}\\ =\frac{a^3+b^3}{{(a+b)}^3}+\frac{3(a^2+b^2)}{{(a+b)}^4}+\frac{6(a+b)}{{(a+b)}^5}\\ =\frac{a^2+b^2-1}{{(a+b)}^2}+\frac{3(a^2+b^2)}{{(a+b)}^4}+\frac{6}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{(a^2+b^2-1){(a+b)}^2+3(a^2+b^2)+6}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{(a^2+b^2-1)(a^2+b^2+2)+3(a^2+b^2)+6}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{(a^2+b^2)}^2+4(a^2+b^2)+4}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{(a^2+b^2+2)}^2}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{(a^2+b^2+2ab)}^2}{{(a+b)}^4}\\ =\frac{{\left[{(a+b)}^2\right]}^2}{{(a+b)}^4}\\ =1\end{array}$

Vậy P = 1, với ab = 1 , a+b ¹ 0.